Medida de arco vs arco

Esas citas son engañosas, hacen pensar que un arco se mide por la longitud del arco. Pero eso no es lo que está pasando en este contexto. Agregar algunas palabras a esas citas podría aclarar las cosas:

• La medida del ángulo de un ángulo inscrito es la mitad de la medida del ángulo del arco que subtiende.

Debes cuidar, por supuesto, que estas medidas de ángulos usen las mismas unidades: podrías usar unidades de grados; o en su lugar utilice unidades de radianes.

Entonces, por ejemplo, la medida del ángulo en grados de un arco semicircular es de hecho$180^\circ$, que es igual a la mitad de la medida del ángulo en grados de todo el círculo que es$360^\circ$. Y entonces$\angle CAB$de hecho tiene una medida de ángulo en grados igual a$\frac{180^\circ}{2} = 90^\circ$.

Un arco es una parte de una curva en el plano euclidiano. La medida de este arco es su longitud. Si el arco es una parte de un círculo, entonces la longitud del arco, dividida por el radio del círculo, es la medida natural del ángulo subtendido en el centro del círculo.

En sus figuras se supone tácitamente que el círculo dibujado tiene radio$1$. – Por cierto: Debe haber pruebas de dicho teorema que se basen en hechos más básicos sobre círculos y tangencia.