Intuición detrás del área de la elipse

Esto es completamente no riguroso, pero$\pi ab$es algo así como lo único que puede ser. Si encontramos una fórmula para el área de una elipse, debe cumplir algunas condiciones:

1: Solo depende de$a$y$b$

2: Cuando cualquiera$a=0$,$b=0$, o ambos,$A=0$.

3: cuando$a=b$, la fórmula debe reducirse a$\pi a^2$

4: Debe seguir las propiedades típicas del área: escalar una de las dimensiones por un factor$k$debe producir un área escalada por un factor de$k$y escalando ambos por un factor de$k$debe producir un área escalada por un factor de$k^2$.

5: Debe ser "simétrico" a$a$y$b$, es decir, intercambiarlos no cambia la fórmula.

Puedes pensar largo y tendido sobre esto, pero$A=\pi ab$es lo único que funciona.

Esto es válido porque una elipse es de hecho una transformada afín de un círculo. La parte difícil, por supuesto, es demostrar que una elipse es solo un círculo estirado, pero eso depende de cómo definas una elipse en primer lugar.

Una forma más simple, pero equivalente, de pensarlo es simplemente tomar un círculo y estirarlo hasta que se convierta en una elipse. La proporción de las áreas es cuánto estiraste, lo que elimina la necesidad de probar$k$es adimensional y ese tipo de cosas.

Por la forma en que expresas tu argumento, parece que estás considerando una familia de elipses, pero haces suposiciones inconsistentes sobre qué elipses están en esta familia. Al principio afirmas que todos tienen el mismo$b/a$, pero luego afirmas que incluyen un círculo, que para$a\ne b$contradice lo que dijiste originalmente.

Sin embargo, eso podría ser mi malinterpretación de lo que quisiste decir cuando dijiste "$b/a$es una constante". Desde entonces, he concluido que lo que quiso decir con "cantidades lineales" son cantidades con la dimensión de longitud, y por "constante" quiso decir "sin dimensiones". (Editar: su respuesta a @RobertIsrael confirmó mi interpretación de " lineal", pero no lo había notado).

Entonces tu argumento tiene mucho más sentido; estás viendo una elipse como un círculo escalado paralelo a un eje, por lo que su área varía en proporción a ese eje. Entonces básicamente estás razonando como lo hizo @ K.defaoite.