Media de una Distribución Exponencial cuyo parámetro de tasa también se distribuye exponencialmente

Supongamos que tengo una variable aleatoria X con una distribución exponencial con parámetro de tasa λ . Supongamos también que no sé el valor de λ pero que se extraerá de otra distribución exponencial con parámetro de tasa k . Estoy tratando de averiguar cuál es mi valor esperado para X es en términos de k . La integral como yo entiendo parece ser ∫ k mi − k X X

Jugando parece como si estuviera configurando k = 1 da X una media de la función integral exponencial mi i ( 0 ) (corríjame si esto es incorrecto), pero no estoy lo suficientemente familiarizado con esta función para entender cómo cambiar k afecta esta salida

En particular, establecer k = 2 parece ceder

∫ 2 mi − 2 X X = 4 ∫ mi − 2 X 2 X = 4 mi i ( 0 )

Lo que intuitivamente parece incorrecto ya que aumentar el parámetro de tasa debería disminuir la media. Claramente, estoy haciendo algo muy estúpido aquí, ¡pero agradecería consejos! Gracias

No está prohibido usar L A T mi X , especialmente para los no novatos. En el enlace hay algunos consejos para su uso.
Mi mal, hará un mejor trabajo en el formateo en el futuro. ¡Gracias por los consejos/recursos!
El valor esperado es mi ( X ) = ∫ 0 ∞ X F ( X ) d X , no ∫ F ( X ) / X d X .
estoy calculando ∫ gramo ( X ) F ( X ) dónde F si el pdf y gramo la media de una exponencial con parámetro X , que es donde se encuentra el 1 / X viene de

Respuestas (1)

El valor esperado se puede calcular usando la ley de la expectativa total . X dado Λ = λ se distribuye como mi X pag ( λ ) y Λ se distribuye como mi X pag ( k ) . Dado que la expectativa condicional mi [ X | Λ = λ ] = 1 λ Obtenemos

mi [ X ] = mi [ mi [ X | Λ ] ] = ∫ 0 ∞ k mi − k λ λ d λ ,
como señaló el OP. El único paso que queda por hacer es una sustitución variable en la integral m = k λ para obtener

mi [ X ] = ∫ 0 ∞ k mi − m m d m = k ⋅ mi i ( 0 ) ,

dónde mi i ( z ) es la integral exponencial . De este modo, mi [ X ] de hecho está aumentando en k . En términos generales, esto se debe a que k , significa más pequeño Λ , significa más grande X .

¡Gracias! Ahora veo que mi intuición sobre la "dirección" del efecto estaba equivocada. Sin embargo, solo una pequeña confusión de mi parte: no veo cómo sustituimos directamente 𝜇 en el denominador en el último paso ya que solo tenemos un λ parece que tenemos que multiplicar un k arriba y abajo para esto, entonces el efecto real sería cuadrático en k ?
@Ablation_nation ¡De nada! Sí, puedes multiplicar el numerador y el denominador con k . Sin embargo, recuerde que también necesita sustituir d m = k d λ , que elimina uno k en el numerador.
Media de una Distribución Exponencial cuyo parámetro de tasa también se distribuye exponencialmente
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v