¿Cómo motivar el logaritmo descomponiendo 1/x1/x1/x en segmentos cada vez más grandes y demostrando que el área bajo la curva se mantuvo igual?

Question

¿Cómo motivar el logaritmo descomponiendo 1/x1/x1/x en segmentos cada vez más grandes y demostrando que el área bajo la curva se mantuvo igual?

cálculo
intuición
logaritmos
Matemáticas
funcion exponencial

usuario851668

Calculus 7e 2011 de James Stewart (no Early Transcendentals) presenta las dos formas de definir un logaritmo. Primero, en la página 404 del § 6.3, Stewart define $\log_ax$ como el inverso de $a^y$ . Luego, en la página 414 del § 6.4, demuestra que $\frac d{dx} ln|x| = \frac 1x \iff \ln|x| + C = \int \frac 1x dx$ .

Segundo, en la p. 421 en §6.2*, primero define $\ln x = \int^x_1 \frac 1t \; dt, x > 0$ . Luego, en la página 429 en §6.3*, define $e^x = y \iff \ln y = x$ .

En cualquier caso, ¿cómo agrega algo este comentario a la motivación o intuición detrás $\log$ ?

Voy a retroceder en el tiempo hasta el desarrollo del logaritmo. El registro era una forma de realizar la multiplicación (en alguna base) simplemente usando la suma. Es decir, cada vez que agrega un número, su salida es proporcional a la última salida.

En algún momento poco después, los matemáticos estaban trabajando en técnicas de integración. Se dieron cuenta de que los métodos básicos para encontrar antiderivados funcionaban para todo excepto para 1/x. Sin embargo, se dio cuenta de que si se descompone el gráfico de 1/x, en segmentos cada vez más grandes (1-2, 2-4, 4-8, 8-16...) el área bajo la curva permanece igual. . esto es en realidad muy fácilmente demostrable! Pero ahora mira lo que encontraron... Descubrieron que el área bajo la curva aumenta por simple suma a medida que duplicas el intervalo. (Es decir, sumar el intervalo de área (1-2) + (2-4) + (4-8), es simplemente la misma área sumada 3 veces).

Esto debería llamarte la atención, porque así es exactamente como definimos un logaritmo para que funcione. Suma realizando multiplicaciones con algún número base.

Debido a que este logaritmo parecía ser tan "natural" (surgió por sí solo), se le llamó "logaritmo natural". Entonces se sabía la relación que ln(x) = integral de 1/x, antes de saber cuál era ese número base. Euler fue realmente capaz de calcular el número, ¡y la prueba de eso también es muy interesante! (Vea mi artículo para la prueba).

Respuestas (2)

¿Cómo motivar el logaritmo descomponiendo 1/x1/x1/x en segmentos cada vez más grandes y demostrando que el área bajo la curva se mantuvo igual?

José · Answer 1

Una de las propiedades más importantes de los logaritmos es que

registro a + registro b = registro a b .

$\log a+ \log b = \log ab \, .$ De hecho, si tratamos de resolver la ecuación funcional

\begin{matrix} (*) & F (a) + F (b) = F (a b), \end{matrix}

$f(a)+f(b) = f(ab) \tag{*}\label{*} \, ,$ entonces la solución es

f (x) = c \log x

$f(x)=c\log x$ , dónde

c

$c$ es una constante arbitraria y

\log

$\log$ es el logaritmo natural. Ahora considere la tarea de encontrar el área bajo la curva de

1 / x

$1/x$ . Como señala Stewart, 'si descompones el gráfico de

1 / x

$1/x$ en segmentos cada vez más grandes... el área bajo la curva permaneció igual'. Simbólicamente,

\int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t = \int_{2}^{4} \frac{1}{t} d t = \int_{4}^{8} \frac{1}{t} d t = \dots

$\int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt \, = \int_{2}^{4}\frac{1}{t} \, dt = \int_{4}^{8}\frac{1}{t} \, dt = \ldots$ Si jugamos un poco con esta ecuación, encontramos una forma intrigante de calcular áreas. Por ejemplo,

\begin{aligned} \int_{1}^{4} \frac{1}{t} d t & = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t + \int_{2}^{4} \frac{1}{t} d t \\ = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t \end{aligned}

$\begin{align} \int_{1}^{4} \frac{1}{t} \, dt &= \int_{1}^{2}\frac{1}{t} \, dt +\int_{2}^{4}\frac{1}{t} \, dt \\[6pt] &= \int_{1}^{2}\frac{1}{t} \, dt + \int_{1}^{2}\frac{1}{t} \, dt \end{align}$ De manera más general, deja

n

$n$ ser un entero positivo. Entonces,

\begin{aligned} \int_{1}^{2^{norte}} \frac{1}{t} d t & = \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t + \int_{2}^{4} \frac{1}{t} d t + \int_{4}^{8} \frac{1}{t} d t + \dots + \int_{2^{norte - 1}}^{2^{norte}} \frac{1}{t} d t \\ = \underset{norte términos}{\underset{⏟}{\int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t + \dots + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t}} \end{aligned}

$\begin{align} \int_{1}^{2^n} \frac{1}{t} \, dt &= \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt + \int_{2}^{4} \frac{1}{t} \, dt + \int_{4}^{8} \frac{1}{t} \, dt + \ldots + \int_{2^{n-1}}^{2^n} \frac{1}{t} \, dt \\[6pt] &= \underbrace{\int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt + \ldots + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} \, dt}_{\text{$n$ terms}} \end{align}$ ¿Qué tiene que ver esto con los logaritmos? Bueno, si dejamos

F (X) = \int_{1}^{X} \frac{1}{t} d t,

$f(x) = \int_{1}^{x}\frac{1}{t} \, dt \, ,$ entonces la ecuación anterior se traduce en

F (2^{norte}) = \underset{norte términos}{\underset{⏟}{F (2) + F (2) + F (2) + \dots + F (2)}}

$f(2^n) = \underbrace{f(2) + f(2) + f(2) + \ldots + f(2)}_{\text{$n$ terms}}$ lo que significa que parece que estas integrales tienen la propiedad

F (a) + F (b) = F (a b)!

$f(a) + f(b) = f(ab) \, !$ La investigación adicional sugiere que esta propiedad no es exclusiva de los poderes de

2

$2$ —funciona para potencias de

3

$3$ , y todos los demás poderes para el caso. Por lo tanto, es sensato conjeturar que

F (a) + F (b) = F (a b),

$f(a) + f(b) = f(ab) \, ,$ en otras palabras que la integral

\int_{1}^{X} \frac{1}{t} d t

$\int_{1}^{x}\frac{1}{t} \, dt$ es un logaritmo. Y podemos probar esto de la siguiente manera:

\int_{1}^{a b} \frac{1}{t} d t = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{a}^{a b} \frac{1}{t} d t

$\int_{1}^{ab}\frac{1}{t} \, dt = \int_{1}^{a}\frac{1}{t} \, dt + \int_{a}^{ab}\frac{1}{t} \, dt$ Dejar

z = t / a

$z=t/a$ , significa que

d z = \frac{1}{a} d t = \frac{z}{t} d t

$dz=\frac{1}{a}dt=\frac{z}{t}dt$ . Entonces nosotros tenemos

\begin{aligned} \int_{1}^{a b} \frac{1}{t} d t & = \int_{1}^{a} \frac{1}{t} d t + \int_{1}^{b} \frac{1}{z} d z \\ F (a b) & = F (a) + F (b) . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{1}^{ab}\frac{1}{t} \, dt &= \int_{1}^{a}\frac{1}{t} \, dt + \int_{1}^{b}\frac{1}{z} \, dz \\[4pt] f(ab) &= f(a) + f(b) \, . \end{align}$ Dado que la solución a

(*)

$\eqref{*}$ es

f (x) = c \log x

$f(x)=c\log x$ ,

\int_{1}^{X} \frac{1}{t} d t = C registro X

$\int_{1}^{x}\frac{1}{t} \, dt = c\log x$ por alguna constante

c

$c$ . Es sólo cuestión de tiempo antes de que descubramos que

c = 1

$c=1$ , brindándonos la motivación detrás de definir

registro X = \int_{1}^{X} \frac{1}{t} d t .

$\boxed{ \;\\[4pt] \quad \log x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt \, . \quad \\ }$ Como lo indica la extensión de esta publicación, la forma más fácil de dar sentido a esta definición es elegir otro punto de partida y luego descubrir que

registro X = \int_{1}^{X} \frac{1}{t} d t

$\log x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} \, dt$ como un teorema. Una vez que hayamos hecho eso, tiene sentido usar la integral como una forma alternativa de definir la función exponencial.

heroupup · Answer 2

Ese comentario al que te vinculaste no es particularmente significativo. La razón es porque cualquier función de la forma $f(x) = c/x$ por alguna constante $c > 0$ obedece a la misma propiedad, a saber, que para $a > 0$ ,

\int_{X = a}^{2 a} \frac{C}{X} d X = \int_{X = 2 a}^{4 a} \frac{C}{X} d X .

$\int_{x=a}^{2a} \frac{c}{x} \, dx = \int_{x=2a}^{4a} \frac{c}{x} \, dx.$ Entonces esta propiedad en sí misma no hace la elección

c = 1

$c = 1$ "especial" o "natural", aunque es la elección por la cual el número

e

$e$ satisface

{registro}_{mi} X = \int_{t = 1}^{X} \frac{1}{t} d t, X > 0.

$\log_e x = \int_{t=1}^x \frac{1}{t} \, dt, \quad x > 0.$

La pregunta básicamente se reduce a cómo $e$ , la base del logaritmo natural, está definida. Y la "explicación" en el comentario es una motivación inadecuada por la razón que describí.

En realidad, hay varias definiciones equivalentes para $e$ , cada uno demostrable de cualquiera de los otros, como el artículo de Wikipedia sobre $e$ (ver "Caracterizaciones alternativas"). En consecuencia, cómo uno motiva la existencia de esta constante depende de qué propiedades son de interés.

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usuario851668

Respuestas (2)

José

heroupup

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