Varianza condicional de variables aleatorias discretas

Dados 𝑋 y 𝑌 son variables aleatorias discretas independientes con

mi [ 𝑋 ] = 0 , mi [ 𝑌 ] = 1 , mi [ 𝑋 2 ] = 8 , mi [ 𝑌 2 ] = 10

y

V a r ( 𝑋 ) = V a r ( 𝑌 ) = 8

Dejar 𝐴 = 𝑋 𝑌 y 𝐵 = 𝑋 + 𝑌 .

Encontrar mi [ A B ] , entonces

mi [ A B ] = mi [ X Y ( X + Y ) ] = mi [ X 2 Y + X Y 2 ] = mi [ X 2 Y ] + mi [ X Y 2 ] = mi [ X 2 ] mi [ Y ] + mi [ X ] mi [ Y 2 ] = 8

Pero obtengo un valor diferente usando el siguiente enfoque

mi [ A B ] = mi [ A ] mi [ B ] = mi [ X Y ] mi [ X + Y ] = mi [ X ] mi [ Y ] ∗ ( mi [ X ] + mi [ Y ] ) = 0

Por curiosidad, ¿por qué es así?

Quiero creer que mi primer enfoque es correcto, por lo tanto mi [ A B ] = 8 .

De todos modos, continuaré con mi pregunta real.

Encontrar 𝖵 𝖺 𝗋 ( A ) , dado 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑋 ) = 𝔼 [ ( 𝑋 ) 2 ] − ( 𝔼 [ 𝑋 ] ) 2 , entonces

V a r ( A ) = mi [ ( X Y ) 2 ] − ( mi [ X Y ] ) 2 = mi [ X 2 Y 2 ] − ( mi [ X ] mi [ Y ] ) 2 = mi [ X 2 ] mi [ Y 2 ] = 8 ∗ 10 = 80

Hasta ahora todo bien, sin embargo, tengo problemas para encontrar la probabilidad condicional para 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝐴 | Y = 1 ) .

Sé que la varianza condicional de una variable aleatoria se determina con

V a r ( X | Y ) = mi [ ( X − mi [ X | Y ] ) 2 | Y ]

Sustituyendo en los parámetros respectivos, entonces

V a r ( X Y | Y = 1 ) = mi [ ( X Y − mi [ X Y | Y = 1 ] ) 2 | Y = 1 ]

¿Y ahora qué? Hay un montón de expectativas condicionales anidadas.

Lo bueno es que hay una fórmula para las expectativas condicionales:

µ X | Y = y = mi ( X | Y = y ) = ∑ X F X | Y ( X | y ) .

Lo triste es que no sé qué hacer con él. ¿Estoy complicando demasiado las cosas?

lo que si se es que mi ( X | Y = y ) es el valor medio de X , cuando Y se fija en y . Ya descubrí el valor de 𝖵 𝖺 𝗋 ( A ) que no sé si sirve para encontrar el condicional o no. También, mi [ X Y ] = 0 .

  • De aquí en adelante, ¿cómo calculo la varianza condicional?
  • ¿Y hay una forma más fácil, quizás más directa, de evaluarlo?

Espero que alguien pueda ayudarme a resolver esto. ¡Gracias!

Si mi [ 𝑌 ] = 1 , mi [ Y 2 ] = 10 entonces V a r ( 𝑌 ) = 9 . Alternativamente, si mi [ 𝑌 ] = 1 , V a r ( 𝑌 ) = 8 entonces mi [ Y 2 ] = 9 .
mi ( A B ) ≠ mi ( A )   mi ( B ) porque X Y no está descorrelacionado con X + Y .
Dado que 𝔼 ( 𝐴 𝐵 ) ≠ 𝔼 ( 𝐴 ) 𝔼 ( 𝐵 ) entonces A y B no son independientes. Corrígeme si me equivoco @GrahamKemp

Respuestas (2)

esta ecuacion

V a r ( A ) = mi [ X Y ] 2 − ( mi [ X Y ] ) 2 = mi [ X 2 Y 2 ] − ( mi [ X ] mi [ Y ] ) 2 = mi [ X 2 ] mi [ Y 2 ] = 8 ∗ 10 = 80
contiene errores tipográficos. La ecuación corregida, con correcciones en rojo, debería verse así:
V a r ( A ) = mi [ ( X Y ) 2 ] − ( mi [ X Y ] ) 2 = mi [ X 2 Y 2 ] − ( mi [ X ] mi [ Y ] ) 2 = mi [ X 2 ] mi [ Y 2 ] = 8 ∗ 10 = 80.

La razón es similar a la razón por la cual F ( X ) 2 se toma para significar ( F ( X ) ) 2 , en vez de F ( X 2 ) .

La varianza condicional

V a r ( A ∣ Y = 1 )
es sencillo: dado que Y = 1 , entonces A = X Y = X , entonces
V a r ( A ∣ Y = 1 ) = V a r ( X ∣ Y = 1 ) = V a r ( X ) ,
donde la última igualdad que establece que la varianza condicional de X dado Y = 1 es igual a la varianza incondicional de X , aguanta porque X y Y son independientes

Esos errores tipográficos serán mi fin. Todavía tengo que acostumbrarme a Tex además fue una larga noche ayer así que mis disculpas por eso; Acabo de corregir la ecuación en mi pregunta. No obstante, su explicación es exactamente lo que estaba buscando, muchas gracias @heropup
Viendo eso X Y simplemente conviértete X en este caso, entonces V a r ( X ) = mi [ ( X ) 2 ] − ( mi [ X ] ) 2 = 8 . Otro ejemplo para comprobar si entiendo esto correctamente. Para determinar V a r ( A | X = 2 ) dado que 𝑋 = 2 , entonces 𝐴 = 𝑋 𝑌 = Y de este modo 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝐴 ∣ 𝑋 = 2 ) = 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ∣ 𝑋 = 2 ) = 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) = 10 . ¿O me perdí algo aquí? Tengo muchas ganas de entender esto, así que corrígeme si me equivoco.
@nimen55290 No; dado X = 2 , entonces A = X Y = 2 Y , por eso
V a r ( A ∣ X = 2 ) = V a r ( 2 Y ∣ X = 2 ) = V a r ( 2 Y ) = 4 V a r ( Y ) .
Creo que lo entiendo ahora. Simplemente sustituya el valor del condicionamiento en cualquiera X = X o Y = y , dependiendo del escenario del caso. La transición de 𝖵 𝖺 𝗋 ( 2 𝑌 ) = 4 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) se hace elevando al cuadrado la constante y factorizándola fuera de la 𝖵 𝖺 𝗋 ( ) función, por ejemplo 𝖵 𝖺 𝗋 ( 2 𝑌 ) = 2 2 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) y 𝖵 𝖺 𝗋 ( 3 𝑌 ) = 3 2 𝖵 𝖺 𝗋 ( 𝑌 ) ¿etcétera? De todos modos, realmente respondiste mi pregunta y la explicaste muy bien, así que voy a marcar esto como una respuesta. Gracias de nuevo @heropup

Cuando A y B no son independientes, mi [ A B ] = ? mi [ A ] mi [ B ] no necesariamente se sostiene.

Anotó incorrectamente la definición de variación condicional.

La expresion mi [ ( Y − mi [ Y ∣ X ] ) 2 ∣ X ] es la definición de Var ( Y ∣ X ) , no Var ( X ∣ Y ) .

Entonces, Var ( X Y ∣ Y = 1 ) = mi [ ( X Y − mi [ X Y ∣ Y = 1 ] ) 2 ∣ Y = 1 ] . Si haces el cálculo, terminarás con Var ( X ) lo cual tiene sentido: ya que X y Y son independientes, X Y simplemente se convierte X al condicionar Y = 1 .

¡Uy, mi mal! Gracias por señalar eso @angryavian. Actualicé la fórmula para la variación condicional en mi pregunta.
Así que ahora me quedo con mi [ ( X − mi [ X | 1 ] ) 2 | 1 ] , pero ¿cómo simplifico las condiciones anidadas para quedarme solo con las expectativas desnudas de X , como en términos de mi [ X ] o mi [ X 2 ] ? @angryavian
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