¿Cómo puedo usar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en esta función de variables aleatorias?

Lo siento, cometí un error. Esta es solo una prueba de la afirmación, y nada se trata de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Oh, me equivoco de nuevo: debido a
@TheOscillator, la desigualdad de Cauchy-Schwarz es una forma de probar$\mathbb{E}^2(X) \leq \mathbb{E}(X^2)$. (normalmente lo demuestro$\mathbb{E}(X - \mathbb{E}X)^2 \geq 0$.)

La desigualdad de Cauchy-Schwarz para variables aleatorias se ve así:

$$\mathbb{E}(XY) \leq \sqrt{\mathbb{E}(X^2) \times \mathbb{E}(Y^2)}.$$

Si$Y \equiv 1$, entonces se convierte$\mathbb{E}^2(X) \leq \mathbb{E}(X^2)$, dónde$\mathbb{E}^2 X$denota$\left( \mathbb{E} X \right)^2$.

Ahora mira lo que queremos probar. Después de alguna reducción (cancelando$\gamma$, la eliminación de la$\log$), encontrará que la reclamación se convierte en

$$\mathbb{E}(e^{-2\gamma X}) \geq \mathbb{E}^2 (e^{-\gamma X}).$$

$e^{-\gamma X}$es solo el "$X$” en la desigualdad de Cauchy-Schwarz.

Por cierto, no necesitas Cauchy-Schwarz para probar$\operatorname E [X]^2 \le E[X^2]$.

De la expresión común de la varianza,

$$\operatorname{Var} [X] = \operatorname E[(X - \operatorname E[X])^2] = E[X^2] - \operatorname E [X]^2$$

si acepta que la varianza de cualquier RV es intuitivamente$\ge 0$, o matemáticamente$(X - \operatorname E[X])^2 \ge 0$para todos$X$y luego el valor esperado de un RV no negativo no es negativo (a partir de una desigualdad básica en la definición de EV como una suma/integral), tienes el resultado.

También$f(X) = X^2$es una función convexa, por lo que también se aplica la desigualdad de Jensen.