Pregunta sobre Definición y Convergencia de Series Exponenciales

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Pregunta sobre Definición y Convergencia de Series Exponenciales

cálculo
Matemáticas
funcion exponencial
secuencias y series
convergencia divergencia

xf16

He visto en muchos libros de texto que lo siguiente es solo una definición:

{mi}^{X} = \sum_{norte = 0}^{\infty} \frac{X^{norte}}{norte!}

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n}}{n!}$

Y luego, muchos libros de texto siguen adelante para probar la convergencia absoluta de la serie infinita usando, por ejemplo, la prueba de la razón, para concluir que la suma infinita en realidad tiene sentido. Pero incluso si la serie infinita es absolutamente convergente, ¿cómo sé que la serie converge a $e^x$ en lugar de algunas otras funciones? Las pruebas de convergencia de series nunca mencionan el límite al que converge la serie. ¿Cómo se le ocurre a la gente tal definición en primer lugar?

dave

Si lo están usando como una definición, entonces están definiendo la función.

e^{x}

$e^x$ ser esta serie.

Respuestas (3)

Pregunta sobre Definición y Convergencia de Series Exponenciales

Si lo están usando como una definición, entonces están definiendo la función. $e^x$ ser esta serie.

Vicente Picaud · Answer 1

Una vez que sabes que la serie es absolutamente convergente puedes deducir de ella todas las características que la definen. $e^x$ función, por ejemplo, puede tomar derivada:

\frac{d}{d X} \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{X^{norte}}{norte!} = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{X^{norte}}{norte!}

$\frac{d}{dx}\sum_{i=0}^\infty\frac{x^n}{n!}= \sum_{i=0}^\infty\frac{x^n}{n!}$ mostrándote eso

(e^{x})^{'} = e^{x}

$(e^x)'=e^x$ .

Más interesante aún, puede usar esta definición para extender exponencial a cualquier matriz cuadrada $X$ . La serie es siempre absolutamente convergente. obviamente tienes $XX^k=X^kX$ , por lo tanto, a partir de la definición de la serie se puede ver que:

X {mi}^{X} = {mi}^{X} X

$Xe^X=e^XX$ Con un poco más de trabajo también puedes ver que:

{mi}^{(A + B)} = {mi}^{A} {mi}^{B}

$e^{(A+B)}=e^Ae^B$ si

A

$A$ y

B

$B$ conmuta:

A B = B A

$AB=BA$ .

B. Goddard · Answer 2

Para ver que tu ecuación es verdadera, podrías tomar la derivada del lado derecho y ver que obtienes lo mismo. Esto muestra que la suma es una solución a la ecuación diferencial

y^{'} = y .

$y'=y.$

Puede comprobar que enchufando $x=0$ en ambos lados da el mismo número, para que sepas que los lados izquierdo y derecho resuelven el problema del valor inicial

y^{'} = y, y (0) = 1.

$y' = y, y(0) =1.$

Dado que las soluciones de los IVP lineales son únicas, sabe que el lado izquierdo es igual al lado derecho.

Y tenga en cuenta que hay diferentes maneras de definir $e^x.$ Si usa una de las otras formas, entonces no es demasiado difícil demostrar que la serie de Maclauren es su suma.

Hola Goddard, esta lógica es correcta: la suma infinita es en realidad la serie de Maclauren, que es la serie de Taylor en 0, de la función exponencial, por lo que según la teoría de la serie de Taylor, si la serie converge, debe converger a la función exponencial. , lo que se justifica mostrando que la serie es absolutamente convergente en todas partes. Muchas gracias.
Sí, supongo que eso funciona. Pero sin decir qué definición de $e^x$ estás usando, parece un poco... um... desconectado.

usuario403337 · Answer 3

Sugerencia: utilice el teorema de Taylor y $(e^x)'=e^x$ .

Pregunta sobre Definición y Convergencia de Series Exponenciales

xf16

dave

Respuestas (3)

Vicente Picaud

B. Goddard

xf16

B. Goddard

usuario403337

∑∞n=0ak∑n=0∞ak\sum_{n=0}^\infty a_k converge absolutamente y ∑∞n=0bk∑n=0∞bk\sum_{n=0}^\infty b_k converge ¿Hace esto implica que ∑∞n=0bksin(ak)∑n=0∞bksin⁡(ak)\sum_{n=0}^\infty b_k\sin(a_k) converge?

Demostrar que una sucesión convergente tiene un mínimo, un máximo o ambos.

Muestre que una prueba de razón no es concluyente para una serie dada, luego determine si la serie converge/diverge.

Determina si la serie ∑∞n=02n2n!∑n=0∞2n2n!\sum_{n=0}^\infty\frac{2^{n^2}}{n!} es convergente o divergente.

Convergencia de una serie infinita particular

Convergencia paramétrica de series infinitas

¿Es esta serie ∑n=0∞1+sinn10n∑n=0∞1+sin⁡n10n\sum\limits_{n=0}^\infty \frac{1+\sin n}{10^n} divergente o convergente ?

Determinar si las series convergen absolutamente, convergen condicionalmente o divergen

Determine si ∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)∑n=1∞(−1)n−1(nn2+1)\sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1}(\frac{n}{n^2+1}) es absolutamente convergente, condicionalmente convergente o divergente.

¿Toda condición suficiente es también una condición necesaria?