La variable aleatoria no tiene una expectativa

Entonces, estaba transformando una variable aleatoria$f_X$, para obtener la densidad de$Y = \exp X$

$$f_X =\begin{cases} 2x^{-3} & \text{if } x \geqslant 1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

Pasé por este proceso y voy por eso$f_Y=\frac{2}{y(\ln y)^{3}}$para$y\geqslant e$. El pdf obtenido se integra a uno, pero cuando trato de obtener la expectativa de Y, no existe.$E( Y) =\int _{e}^{\infty }\frac{2}{(\ln y)^{3}} dy$. ¿Pudiste encontrar mi problema?

$$\begin{gather*} f( x) =\begin{cases} 2x^{-3} & \text{if } x\geqslant 1\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}\\ \text{We first estimate} \ F_{X}\\ F_{X} =\int _{1}^{x} 2t^{-3} dt\\ F_{X} =1-x^{-2}\text{ for } x\geqslant 1\\ \text{By definition we know}\\ F_{Y} =P( Y\leqslant y)\\ F_{Y} =P\left( e^{X} \leqslant y\right)\\ F_{Y} =P\left(\ln e^{X} \leqslant \ln y\right)\\ F_{Y} =P( X\leqslant \ln y)\\ \\ P( X\leqslant \ln y) =1-\frac{1}{(\ln y)^{2}}\\ \text{We can now get} \ F_{Y}\\ F_{Y} =1-\frac{1}{(\ln y)^{2}}\text{ for } y\geqslant e\\ \text{We need to take the derivative to get } f_{Y}\\ f_{Y} =\frac{d}{dy}\left( 1-\frac{1}{(\ln y)^{2}}\right)\\ f_{Y} =\begin{cases} \frac{2}{y(\ln y)^{3}} & \text{ for } y\geqslant e\\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \end{gather*}$$

Sin embargo,

$$E( Y) =\int _{e}^{\infty }\frac{2}{(\ln y)^{3}} dy$$ no está definido. no sé por qué