¿Es el logaritmo natural realmente único como multiplicador?

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¿Es el logaritmo natural realmente único como multiplicador?

cálculo
logaritmos
Matemáticas
funcion exponencial

usuario301988

La página de Wikipedia sobre el logaritmo natural dice: 'Los logaritmos se pueden definir en cualquier base positiva que no sea 1, no solo e. Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren solo por un multiplicador constante del logaritmo natural y generalmente se definen en términos de este último. Esto parece sugerir que solo los logaritmos naturales tienen esta propiedad, a saber:

\begin{matrix} (0) & yo o {gramo}_{a} (X) = C . yo o {gramo}_{mi} (X) \end{matrix}

$\tag{0}log_a(x)=c.log_e(x)$ dónde

x

$x$ puede variar y sin embargo

c

$c$ permanece constante. Esta pregunta sigue a esta sobre el resultado:

\begin{matrix} (1) & \int \frac{C}{X} = C . yo o {gramo}_{mi} (X) + C \end{matrix}

$\tag{1}\int\frac{c}{x}=c.log_e(x) + C$ dada por WolframAlpha, donde declaran explícitamente que se está utilizando el logaritmo natural. Sin embargo, mi lectura de la prueba de Wikipedia de la diferenciación de

l n (x)

$ln(x)$ (que en realidad es independiente de la base) me llevó a creer que la ecuación anterior se puede escribir:

\begin{matrix} (2) & \int \frac{yo o {gramo}_{a} (mi)}{X} = yo o {gramo}_{a} (X) + C \end{matrix}

$\tag{2}\int\frac{log_a(e)}{x}=log_a(x)+C$ Si

a = e

$a=e$ por supuesto, coinciden; no trivialmente la implicación, de

(0)

$(0)$ , es eso:

C = yo o {gramo}_{a} (mi)

$c=log_a(e)$

\frac{yo o {gramo}_{a} (X)}{yo o {gramo}_{a} (mi)} = yo o {gramo}_{mi} (X)

$\frac{log_a(x)}{log_a(e)}=log_e(x)$ (Ver Wikipedia, Logaritmo, Cambio de base). Algebraicamente, todo esto se verifica; sin embargo, comenzamos asumiendo la propiedad que conectaba las dos integrales, por lo que debemos hacernos la pregunta: ¿realmente esa propiedad solo se aplica a los logaritmos naturales? Y, ¿podría reescribirse el resultado de Wolfram sin especificar una base en absoluto?

Considere la siguiente prueba:

from math import log    #log is ln in python unless a 2nd argument gives a base

print()
print('log(18,1.5)', log(18,1.5))
print('log(18,3)', log(18,3))
print('log(18,1.5)/log(18,3)', log(18,1.5)/log(18,3))
print()
print('log(14,1.5)', log(14,1.5))
print('log(14,3)', log(14,3))
print('log(14,1.5)/log(14,3)', log(14,1.5)/log(14,3))
print()

que produce los resultados:

7.12853    6.50872
2.63093    2.40217
2.70951    2.70951

Los resultados tercero y sexto coincidieron exactamente (es decir, en todos los lugares decimales), aunque uno tenía un lugar más que el otro. ¿Qué muestran estos resultados? Estamos tratando de probar la teoría de que:

yo o {gramo}_{a} (X) = C . yo o {gramo}_{b} (X)

$log_a(x)=c.log_b(x)$ dónde

x

$x$ puede variar para bases (b) distintas de $e$ . Entonces:

\frac{yo o {gramo}_{a} (X_{1})}{yo o {gramo}_{b} (X_{1})} = \frac{yo o {gramo}_{a} (X_{2})}{yo o {gramo}_{b} (X_{2})}

$\frac{log_a(x_1)}{log_b(x_1)}=\frac{log_a(x_2)}{log_b(x_2)}$ porque ambos son iguales

c

$c$ . Esto es exactamente lo que se estaba probando. Reorganizando:

\frac{yo o {gramo}_{a} (X_{1})}{yo o {gramo}_{a} (X_{2})} = \frac{yo o {gramo}_{b} (X_{1})}{yo o {gramo}_{b} (X_{2})}

$\frac{log_a(x_1)}{log_a(x_2)}=\frac{log_b(x_1)}{log_b(x_2)}$

yo o {gramo}_{X 2} (X_{1}) = yo o {gramo}_{X 2} (X_{1})

$log_{x2}(x_1)=log_{x2}(x_1)$ Y entonces

1 = 1

$1=1$ ! El último paso invoca la regla de cambio de base antes mencionada (que puede probarse a partir de

x = b^{l o g_{b} (x)}

$x=b^{log_b(x)}$ y la ley de potencia de los logaritmos). El resultado de todo esto es que es muy engañoso decir que

\int c / x = c . l o g_{e} (x) + C

$\int c/x = c.log_e(x)+C$ . Podría usar cualquier logaritmo.

EDITAR: para completar la diferenciación de $log(x)$ llevar $(2)$ arriba (así es como 'sale'), conviértalo a:

\int \frac{yo o {gramo}_{a} (mi)}{X} = yo o {gramo}_{a} (mi) . yo o {gramo}_{mi} (a) . yo o {gramo}_{a} (X) + C

$\int\frac{log_a(e)}{x}=log_a(e).log_e(a).log_a(x)+C$ de David K (2), luego haz

l o g_{e} (a) . l o g_{a} (x) = l o g_{e} (x)

$log_e(a).log_a(x)=log_e(x)$ y

l o g_{a} (e) = c

$log_a(e)=c$ (porque

a

$a$ ya no esta relacionado con

x

$x$ ) para obtener

(1)

$(1)$ arriba. Solo el logaritmo natural nos permite hacer esto: encontrar la integral de

c / x

$c/x$ encontramos

c . l n (x)

$c.ln(x)$ en lugar de tener que calcular la base de

l o g_{a} (e) = c

$log_a(e)=c$ y luego el valor de

l o g_{a} (x)

$log_a(x)$ . Antes de las computadoras, este probablemente habría sido el factor decisivo para elegir la mejor técnica (porque se tabulaban los logaritmos naturales).

rubik

Por qué dices eso

\ln

$\ln$ ¿La base es agnóstica? Por lo general, denota el logaritmo natural:

\ln x = \log_{e} x

$\ln x = \log_e x$ . WolframAlpha no sigue esta convención y utiliza

\log x

$\log x$ para indicar el logaritmo natural.

ian

No creo entender la pregunta. ¿Estás preguntando por la igualdad?

\log_{a} (x) = c \log_{e} (x)

$\log_a(x)=c\log_e(x)$ dónde

c

$c$ depende solo de

a

$a$ ? Ciertamente uno podría reemplazar

e

$e$ Con algo

b

$b$ también. No estás atascado con el logaritmo natural, es solo que puedes elegir reducir cualquier otro logaritmo a él, y hay varias razones por las que eso es conveniente. En cuanto a la integración, sí.

\int c / x d x c a n b e w r i t t e n a s d l o g_{a} (x) + C

$\int c/x dx can be written as d log_a(x) + C$ , pero solo con

a = e

$a=e$ tiene

d = c

$d=c$ .

usuario301988

Porque si sigues el razonamiento en la diferenciación de ln(x) no hay nada que decir que debe ser base e. Solo usa las leyes de los logaritmos.

golondrina Arctica

¿Podría aclarar cuál es su pregunta?

ian

No, en ese aspecto te equivocas en alguna parte. Déjame ver tu cálculo.

usuario301988

Supongo que la pregunta es: ¿la afirmación engañosa de Wolfram equivale a un error?

siddharth bhat

También estoy confundido acerca de la pregunta: en cuanto a por qué elegimos

\ln x

$\ln x$ , es simplemente porque cuando "haces cosas" con él, tiene un multiplicador de 1 y, por lo tanto, no deja atrás el cruft algebraico.

ian

¿Qué afirmación? la afirmación

\int c / x d x = c \log_{e} (x) + C

$\int c/x dx = c \log_e(x) + C$ es correcto. Puede reescribir esto en términos de un logaritmo diferente, pero luego el coeficiente se ve obligado a cambiar, lo cual es molesto. La respuesta de MSE que vinculó muestra esto.

usuario301988

@SiddharthBhat ¿Pero sería un logaritmo en otra base?

golondrina Arctica

Este parece ser tu argumento de que es "erróneo" escribir una identidad para

\ln

$\ln$ que podría establecerse en mayor general para basado arbitrariamente

\log

$\log$ s. No veo ninguna pregunta.

siddharth bhat

Podrías , no significa que debas . Puede optar por representar números en unario, por ejemplo, o hablar en un idioma con solo dos sonidos, o cualquier cantidad de cosas. Simplemente no hacemos esto la mayor parte del tiempo porque es inconveniente.

siddharth bhat

Hay un caso de uso legítimo para una base diferente - base

2

$2$ . En teoría de la información y ciencias de la computación, consideramos que los bits son nuestra "unidad de conteo" fundamental (ya que necesita dos de algo para incluso diferenciar entre cosas), por lo que

\log_{2}

$\log_2$ aparece mucho en estos dos campos

usuario301988

Por supuesto, lo engañoso que las diferentes personas encuentran en su redacción es subjetivo.

usuario301988

math.stackexchange.com/questions/420177/…

sangre de pulga

"Esto parece sugerir que solo los logaritmos naturales tienen esta propiedad". Con toda honestidad, tengo que decir que es una suposición completamente extraña y extraña, y realmente honesta y absurda. Si dos cosas son proporcionales a una tercera, son proporcionales entre sí. Por supuesto, int a/x dx puede ser a.ln (d) log_d x. Pero eso requiere un multiplicador ln (d). La conveniencia de utilizar la base natural es que este multiplicador es 1. Cada base tiene un único multiplicador y e es la única cuyo multiplicador es 1. Y eso es único. Y conveniente

usuario301988

Es único para esta integral en particular. También tenga en cuenta que la FTC implica que

\int l o g^{'} (x) = l o g (x)

$\int log'(x)=log(x)$ pero Wikipedia implicaba que

\int l o g_{a} (e) / x

$\int log_a(e)/x$ [es decir

\int l o g_{a}^{'} (x)

$\int log'_a(x)$ o

\int c / x

$\int c/x$ ] es igual

l o g_{a} (x) + C

$log_a(x) + C$ mientras que WolframAlpha afirma que

\int c / x = c . l o g_{e} (x) + C

$\int c/x=c.log_e(x)+C$ ; tenían que reconciliarse.

sangre de pulga

@selfawareuser Um... no, no lo hice.

usuario301988

math.stackexchange.com/questions/1161248/…

usuario301988

math.stackexchange.com/questions/1867939/how-unique-is-e

Respuestas (5)

¿Es el logaritmo natural realmente único como multiplicador?

Por qué dices eso $\ln$ ¿La base es agnóstica? Por lo general, denota el logaritmo natural: $\ln x = \log_e x$ . WolframAlpha no sigue esta convención y utiliza $\log x$ para indicar el logaritmo natural.
No creo entender la pregunta. ¿Estás preguntando por la igualdad? $\log_a(x)=c\log_e(x)$ dónde $c$ depende solo de $a$ ? Ciertamente uno podría reemplazar $e$ Con algo $b$ también. No estás atascado con el logaritmo natural, es solo que puedes elegir reducir cualquier otro logaritmo a él, y hay varias razones por las que eso es conveniente. En cuanto a la integración, sí. $\int c/x dx can be written as d log_a(x) + C$ , pero solo con $a=e$ tiene $d=c$ .
Porque si sigues el razonamiento en la diferenciación de ln(x) no hay nada que decir que debe ser base e. Solo usa las leyes de los logaritmos.
No, en ese aspecto te equivocas en alguna parte. Déjame ver tu cálculo.
Supongo que la pregunta es: ¿la afirmación engañosa de Wolfram equivale a un error?
También estoy confundido acerca de la pregunta: en cuanto a por qué elegimos $\ln x$ , es simplemente porque cuando "haces cosas" con él, tiene un multiplicador de 1 y, por lo tanto, no deja atrás el cruft algebraico.
¿Qué afirmación? la afirmación $\int c/x dx = c \log_e(x) + C$ es correcto. Puede reescribir esto en términos de un logaritmo diferente, pero luego el coeficiente se ve obligado a cambiar, lo cual es molesto. La respuesta de MSE que vinculó muestra esto.
Este parece ser tu argumento de que es "erróneo" escribir una identidad para $\ln$ que podría establecerse en mayor general para basado arbitrariamente $\log$ s. No veo ninguna pregunta.
Podrías , no significa que debas . Puede optar por representar números en unario, por ejemplo, o hablar en un idioma con solo dos sonidos, o cualquier cantidad de cosas. Simplemente no hacemos esto la mayor parte del tiempo porque es inconveniente.
Hay un caso de uso legítimo para una base diferente - base $2$ . En teoría de la información y ciencias de la computación, consideramos que los bits son nuestra "unidad de conteo" fundamental (ya que necesita dos de algo para incluso diferenciar entre cosas), por lo que $\log_2$ aparece mucho en estos dos campos
Por supuesto, lo engañoso que las diferentes personas encuentran en su redacción es subjetivo.
"Esto parece sugerir que solo los logaritmos naturales tienen esta propiedad". Con toda honestidad, tengo que decir que es una suposición completamente extraña y extraña, y realmente honesta y absurda. Si dos cosas son proporcionales a una tercera, son proporcionales entre sí. Por supuesto, int a/x dx puede ser a.ln (d) log_d x. Pero eso requiere un multiplicador ln (d). La conveniencia de utilizar la base natural es que este multiplicador es 1. Cada base tiene un único multiplicador y e es la única cuyo multiplicador es 1. Y eso es único. Y conveniente
Es único para esta integral en particular. También tenga en cuenta que la FTC implica que $\int log'(x)=log(x)$ pero Wikipedia implicaba que $\int log_a(e)/x$ [es decir $\int log'_a(x)$ o $\int c/x$ ] es igual $log_a(x) + C$ mientras que WolframAlpha afirma que $\int c/x=c.log_e(x)+C$ ; tenían que reconciliarse.

grand_chat · Answer 1

Hay un error en tu álgebra. De tu tercera ecuación

\begin{matrix} (1) & \int \frac{{registro}_{a} (mi)}{X} d X = {registro}_{a} (X) + C \end{matrix}

$\int\frac{\log_a(e)}{x}\,dx=\log_a(x)+C\tag1$ puedes deducir que para cualquier

c

$c$

\begin{matrix} (2) & \int \frac{C}{X} d X = \frac{C}{{registro}_{a} (mi)} {registro}_{a} (X) + C . \end{matrix}

$\int\frac cx\,dx={c\over\log_a(e)}\log_a(x)+C.\tag2$ (Esto es equivalente al resultado de Wolfram). Comparando (2) con tu segunda ecuación, no se sigue que

c = \log_{a} (e)

$c=\log_a(e)$ .

He ido y venido entre las dos integrales, todavía no puedo verlo...
Tenga en cuenta que el RHS de mi última ecuación tiene $\log_a(x)$ en lugar de $\log_e(x)$ . Concluyendo que $c=\log_a(e)$ es equivalente a afirmar $a=e$ .
¿No está claro cómo (2) se sigue de (1)? O no está claro por qué es incorrecto concluir $c=\log_a(e)$ ?
Esta publicación sigue a través de la vinculada a esta en $ln'(x)$ . La última línea de la prueba (tomada de Wikipedia) es $ln'(x)=\frac{ln(1+u)^{1/u}}{x}$ pero como dije, la prueba es independiente de la base , por lo que $c$ tiene que ser $log_a(e)$ , $u \rightarrow 0$ .

david k · Answer 2

Repitiendo la cita de Wikipedia:

Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren solo por un multiplicador constante del logaritmo natural y generalmente se definen en términos de este último.

No hay nada aquí que diga que esta propiedad del logaritmo natural es única. De hecho, si

\begin{aligned} {registro}_{a} (X) & = A {registro}_{mi} (X) & y & {registro}_{b} (X) & = B {registro}_{mi} (X), \end{aligned}

$\begin{align} \log_a(x) &= A\log_e(x) &&\text{and}& \log_b(x) &= B\log_e(x), \end{align}$ entonces

\frac{{registro}_{a} (X)}{{registro}_{b} (X)} = \frac{A {registro}_{mi} (X)}{B {registro}_{mi} (X)} = \frac{A}{B}

$\frac{\log_a(x)}{\log_b(x)} = \frac{A\log_e(x)}{B\log_e(x)} = \frac AB$ y por lo tanto

{registro}_{a} (X) = (\frac{A}{B}) {registro}_{b} (X) .

$\log_a(x) = \left(\frac AB\right) \log_b(x).$ Eso es,

A / B

$A/B$ es el multiplicador constante por el cual los logaritmos en base

a

$a$ y base

b

$b$ difieren, y siempre habrá algún multiplicador constante sin importar qué dos bases se usen.

Hasta ahora, esto concuerda con sus conclusiones, teniendo en cuenta que nada de lo que hemos encontrado contradice la cita de Wikipedia.

La razón de elegir el logaritmo natural como el que "normalmente" aparece en las definiciones de otros logaritmos tiene que ver con el hecho de que muchos matemáticos encuentran el logaritmo natural generalmente conveniente para cosas que a muchos matemáticos les gusta hacer. (La palabra "generalmente" en la entrada de Wikipedia debería ser una pista de que las definiciones no necesitan hacerse de esta manera. Tampoco es cierto que el logaritmo natural sea el logaritmo favorito de todos todo el tiempo. En algunas aplicaciones, a veces se usan otros logaritmos. privilegiado.)

Pero el logaritmo natural es único en la forma en que resuelve la integral que estabas viendo,

\begin{matrix} (1) & \int \frac{C}{X} d X = C {registro}_{mi} (X) + C . \end{matrix}

$\int\frac cx\,dx = c \log_e(x) + C. \tag1$ El logaritmo natural es el único logaritmo para el que puedes escribir correctamente esa ecuación con la misma constante multiplicativa

c

$c$ en ambos lados, sin introducir otros multiplicadores. Por supuesto, puede usar la propiedad "cada logaritmo es proporcional a cualquier otro logaritmo" para escribir

\begin{matrix} (2) & \int \frac{C}{X} d X = (C {registro}_{mi} (a)) {registro}_{a} (X) + C . \end{matrix}

$\int\frac cx\,dx = (c \log_e(a)) \log_a(x) + C. \tag 2$ Esa es una fórmula simple, pero no tan simple como Ecuación

(1)

$(1)$ , porque necesitamos insertar un factor de

\log_{e} (a)

$\log_e(a)$ esa ecuación

(1)

$(1)$ no requiere; en general,

c \log_{e} (a) \neq c

$c \log_e(a) \neq c$ excepto cuando

a = e

$a = e$ .

Hasta este punto, la constante $c$ en ecuaciones $(1)$ o $(2)$ puede ser cualquier cosa que queramos: $c=1$ , $c=2$ , $c=-10$ , $c=e$ , o $c=100017$ , cualquiera de esos funcionará. Pero supongamos que renunciamos a toda esa libertad y nos comprometemos con la afirmación de que $c = \log_a(e)$ . Entonces Ecuación $(2)$ se convierte

\begin{aligned} \int \frac{{registro}_{a} (mi)}{X} d X & = ({registro}_{a} (mi) {registro}_{mi} (a)) {registro}_{a} (X) + C \\ = {registro}_{a} (X) + C . \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac{\log_a(e)}{x}\,dx &= (\log_a(e) \log_e(a)) \log_a(x) + C \\ &= \log_a(x) + C. \end{align}$

Así que hemos eliminado $e$ desde el lado derecho, pero ahora mira, ahí está en el lado izquierdo donde no había $e$ antes. Además, ¿qué pasó con nuestra tan versátil fórmula para resolver la integral $\int \frac cx\,dx$ ? ¿Cómo podemos resolver $\int \frac 3x\,dx$ ? No podemos simplemente establecer $c=3$ , porque ya nos hemos comprometido a establecer $c = \log_a(e)$ . OK, hay una manera de evitar esto: elige $a$ de modo que $\log_a(e) = 3$ . Podemos hacer esto configurando $a = \sqrt[3]e$ . Entonces

\begin{aligned} \int \frac{3}{X} d X & = \int \frac{{registro}_{\sqrt[3]{mi}} (mi)}{X} d X \\ = {registro}_{\sqrt[3]{mi}} (X) + C \end{aligned}

$\begin{align} \int \frac3x \,dx &= \int \frac{\log_{\sqrt[3]e}(e)}{x}\,dx \\ &= \log_{\sqrt[3]e}(x) + C \end{align}$ y está esa molesta base del logaritmo natural

e

$e$ de nuevo; ahora está de vuelta en el lado derecho, pero se usa de una manera que es mucho más rara y difícil de entender que antes.

Así que la felicidad en la integración de cualquier múltiplo de $1/x$ se logra mejor recordando y usando la ecuación $(1)$ exactamente como está escrito, sin tratar de deshacerse del logaritmo natural que "naturalmente" aparece allí.

Le concedo que algunas de las declaraciones en la página de Wikipedia no son tan defendibles. Por ejemplo,

Otro sentido en el que el logaritmo en base e es el más natural es que se puede definir muy fácilmente en términos de una integral simple o una serie de Taylor y esto no es cierto para otros logaritmos.

Esto se apoya bastante en una noción preconcebida de lo que es "simple". Como vimos en la Ecuación $(2)$ , solo se necesita un factor multiplicativo más para definir cualquier logaritmo en términos de una integral simple. Por supuesto, ese factor resulta ser el logaritmo natural de la base de nuestro otro logaritmo; pero es solo un número ; no tenemos que desarrollar toda la función de logaritmo natural para derivarla. Es mejor (en mi opinión) decir que la definición del logaritmo natural por estos medios es más simple que las definiciones correspondientes de otros logaritmos.

'El logaritmo natural es el único logaritmo para el que puedes escribir correctamente esa ecuación con la misma constante multiplicativa $c$ en ambos lados, sin introducir ningún otro multiplicador.' Vale la pena hacer la razón de eso explícita: $c.log_e(x)=log_a(e).log_e(x)=log_a(x)$ . El último paso depende de la regla de cambio de base, que no funciona si $e$ se reemplaza con $b$ .
'Hasta este punto, la constante $c$ en las Ecuaciones (1) o (2) puede ser lo que queramos... cualquiera de ellos funcionará. Pero supongamos que renunciamos a toda esa libertad y nos comprometemos con la afirmación de que $c=log_a(e)$ .' No estoy muy seguro de eso porque tiene que cancelar con $log_e(a)$ y el valor de $a$ afecta el $log_a(x)$ término.
En otras palabras: $a$ y $c$ están relacionados, y se usa el logaritmo natural porque solo entonces se vuelven verdaderamente independientes, es decir $a$ está eliminado.

mjqxxxx · Answer 3

Simplemente estás malinterpretando lo que dice el artículo (en Wikipedia, aquí ). La cita que explica por qué el logaritmo natural se llama únicamente "natural" es esta:

El logaritmo natural se puede definir para cualquier número real positivo $a$ como el área bajo la curva y = $1/x$ de $1$ a $a$ (el área se toma como negativa cuando $a<1$ ). La simplicidad de esta definición, que coincide con muchas otras fórmulas que involucran el logaritmo natural, conduce al término "natural".

Esto es bastante claro, siempre y cuando esté de acuerdo en que "integral de $1/x$ " es más simple en algún sentido que "integral de $a/x$ "para cualquier otro $a$ . La cita que te confunde, entonces, es esta:

Los logaritmos se pueden definir en cualquier base positiva que no sea $1$ , no solo $e$ . Sin embargo, los logaritmos en otras bases difieren solo por un multiplicador constante del logaritmo natural y generalmente se definen en términos de este último.

Aquí el artículo dice que, aunque existen logaritmos en otras bases, cuando se ven como funciones difieren de una manera bastante trivial del logaritmo natural (es decir, por una constante multiplicativa). No está diciendo que este hecho sobre el logaritmo natural lo haga especial (como dices, no lo hace) ... la parte "natural" se explicó anteriormente. Solo dice que cualquier cosa fundamental que hay que aprender sobre los logaritmos en general se puede entender estudiando un logaritmo en particular, ya que todos están muy relacionados, y si vas a estudiar solo un logaritmo, también puede ser el natural (Del mismo modo, podríamos estudiar algunos múltiplos de las funciones trigonométricas, pero $\sin x$ y $\cos x$ son "especiales" en eso $\sin^2 x + \cos^2 x=1$ , que es más simple que $(a\sin x)^2+(a\cos x)^2=a^2$ por cualquier otro positivo $a$ .)

Choque de Drouglas · Answer 4

Solo homogéneo con logaritmos son invariantes al cambio de base.

Ejemplos:

$4 \log 2 \log(xy) = 2 \log 4 \log(x) + \log 16 \log (y)$

es independiente de la base pero

$\log 1000000 = 6$

es cierto solo para $\log_{10}$ .

Narasimham · Answer 5

Di que te dan

\frac{d y}{d X} = \frac{2 y}{X}

$\frac{dy} {dx }=\frac{2 y} { x }$

Los pasos de integración son:

\frac{d y}{y} = \frac{2 d X}{X}

$\frac{dy} {y }=\frac{2 \, dx } { x }$

\int \frac{d y}{y} = \int \frac{2 d X}{X}

$\int \frac{dy} {y }=\int \frac {2 \, dx } { x }$

registro y = 2 registro X + registro C

$\log y = 2 \log x + \log C$

Tenga en cuenta que en lugar de lo habitual $C$ elegimos poner ${\log C}$ por conveniencia manipulativa porque después de todo es una constante arbitraria y cualquier función de una constante arbitraria también es arbitraria. Exponencia en ambos lados,

{mi}^{registro y} = {mi}^{2 registro X} \cdot {mi}^{registro C}

$e^{ \log y } = e^ {2 \log x } \cdot e^{ \log C }$ eso es

y = C \cdot X^{2}

$y= C \cdot x^2$ donde la constante de integración junto con log ahora se ha convertido en un multiplicador.

Si pudiera completar algunos de los pasos intermedios, sería bueno.

¿Es el logaritmo natural realmente único como multiplicador?

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