Cómo derivar el valor esperado de una función de una variable aleatoria discreta

Es bien sabido que el valor esperado de una función$f$de una variable aleatoria discreta$\rho$encima$x$, el valor esperado es$Ef=\sum_{-\infty}^{\infty}f(x)P(\rho=x)$. No veo cómo derivar esto de (mostrar que es igual a) la construcción a continuación.

Dejar$\rho$Sea una variable aleatoria discreta en$x$y definir$f=f(\rho)$. Entiendo la motivación detrás del valor esperado para$\rho$, dada por$E\rho=\sum_{-\infty}^{\infty}xP(\rho=x)$.

Desde$f$es en sí misma una variable aleatoria discreta que toma sólo los valores$y=f(x)$, resulta que$P(f=y)=\sum_{x|f(x)=y}P(\rho=x)$. Así, por la misma motivación,$Ef=\sum_{-\infty}^{\infty}yP(f=y)$, que se convierte$Ef=\sum_{-\infty}^{\infty}y\sum_{x|f(x)=y}P(\rho=x)$.

En Teoría de la probabilidad de Rozanov: un curso conciso, dice que esto es igual a la conocida fórmula. ¿Cómo es esto igual a la conocida fórmula? Perdón por las imprecisiones, soy un principiante en esto.