¿Cuál es el error en este cálculo que implica el valor absoluto del valor esperado?

Es bien sabido que$|E[X]|\leq E[|X|]$, dónde$X$es una variable aleatoria que toma valores en$\mathbb{R}$y$E[X]$es su valor esperado.

Ahora, supongamos que$|E[X]|<a$para algunos$a\in \mathbb{R}$.

Esto es equivalente a$-a<E[X]<a$y multiplicando por -1 obtenemos$a>-E[X]=E[-X]>-a$.

Si$X\geq 0$entonces$|X|=X$de modo que$E[|X|]=E[X]<a$. Si$X < 0$entonces$|X|=-X$de modo que$E[|X|]=E[-X]<a$.

En conclusión, esto demostraría que$|E[X]|<a$implica$E[|X|]<a$. Pero como esto funciona para cualquier$a\in \mathbb{R}$entonces$|E[X]|< E[|X|]$sería imposible, violando la conocida desigualdad.

Debe haber algún error de principiante en mi elaboración y parece que no puedo encontrarlo.