Mecánica Cuántica (Griffiths); ¿Me estoy perdiendo un argumento sutil en una prueba?

Estoy trabajando en una prueba en el libro de Mecánica Cuántica de Griffith (Capítulo 1.4 - Normalización) y siento que se está omitiendo un detalle sutil. Si alguien puede proporcionar claridad que ayudaría.

Tenemos$\Psi = \Psi(x,t)$y el autor acaba llegando a este punto de la demostración.

$$\frac{d}{dt}\int^\infty_{-\infty}|\Psi|^2 dx = a\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg)dx$$

dónde$a$es una constante Hasta este punto, lo sigo. Entonces el autor afirma

$$a\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial}{\partial x}\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg)dx = a\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg)\bigg|^\infty_{-\infty} = 0.$$

Basado en el hecho de que la función de onda debe desaparecer en infinitos. Aquí está mi problema:

Dejar

$\bigg(\Psi^*\frac{\partial\Psi}{\partial x}-\frac{\partial\Psi^*}{\partial x}\Psi\bigg) = f(x,t)$

como supongo que debe ser. ¿No es cierto entonces que

$a\int^\infty_{-\infty}\frac{\partial f(x,t)}{\partial x}dx = af(x,t)\bigg|^\infty_{-\infty}+aC(t)$

dónde$C(t)$es la constante de integración con respecto a$x$.

Entonces, el autor dice que el primer término tiende a cero físicamente, pero no menciona el segundo término, que sería solo una función de$t$. ¿Me estoy perdiendo un punto físico de intuición aquí? ¿O quizás estoy equivocado en mi integración de derivadas parciales? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Por contexto, esta prueba se realiza para mostrar que la normalización de la función de onda no cambia con el tiempo.