Punto en un diámetro de un círculo

Question

Punto en un diámetro de un círculo

círculos
geometría
Matemáticas
Geometría euclidiana

Kaloyan K.

$MN$ es un diametro de un circulo $k(O;R)$ . Punto $T$ se elige en $MN$ y el acorde $PQ$ atravesar $P$ , de modo que $\measuredangle MNP=60^\circ,\measuredangle NPT=73^\circ$ y $PT=3$ . Encuentre el diámetro de $k$ .

Cuando dibujé una figura con GeoGebra, descubrí que $R\approx 2,53$ . Esto puede ser útil (como punto de referencia).

En primer lugar, tenemos la relación métrica

METRO T \cdot T norte = PAG T \cdot T q

$MT\cdot TN=PT\cdot TQ$ solo sabemos

P T = 3

$PT=3$ , así que no creo que esto pueda ser útil (al menos por ahora).

En segundo lugar, si conectamos $M$ con $P$ , triangulo $MPN$ es un triángulo rectángulo con ángulos 30-60-90, pero no pude usar esto de alguna manera.

Por favor, dame alguna idea sobre qué hacer a continuación, que podría conducir a la longitud deseada.

amante de las matemáticas

Encontrar

N P

$NP$ usando la ley de los senos dado que sabes

P T

$PT$ .

N P

$NP$ es igual al radio del círculo.

Kaloyan K.

@MathLover, ¡gracias por la respuesta! Según tengo entendido, tu idea es la misma que la de Andrei. Sugieres que use la ley de los senos para el triángulo.

P O T

$POT$ . Por favor, vea mi comentario debajo de la respuesta de Andrei.

amante de las matemáticas

No, directamente en

△ N P T

$\triangle NPT$ .

\frac{\sin ∠ N T P}{N P} = \frac{\sin 60^{0}}{3}

$\frac{\sin \angle {NTP}}{NP} = \frac{\sin 60^0}{3}$ . eso te da

N P

$NP$ . Ahora el diámetro es dos veces

N P

$NP$ .

Kaloyan K.

@MathLover, mi punto aún se mantiene. Tenemos

\frac{3}{pecado 60^{\circ}} = \frac{R}{pecado 47^{\circ}} \Rightarrow R = 2 \sqrt{3} pecado 47^{\circ} .

$\dfrac{3}{\sin60^\circ}=\dfrac{R}{\sin47^\circ}\Rightarrow R=2\sqrt3\sin47^\circ.$ Como no sabemos

\sin 47^{\circ}

$\sin47^\circ$ , puedo dejar la respuesta en este formulario?

amante de las matemáticas

Sí, por supuesto, la respuesta es la misma y lo que dice Andrei también funciona. El diámetro es

4 \sqrt{3} \sin 47^{0}

$4 \sqrt3 \sin 47^0$ . Puedes usar una calculadora y encontrar

\sin 47^{0}

$\sin 47^0$ o dejarlo como tal.

Respuestas (1)

Punto en un diámetro de un círculo

Encontrar $NP$ usando la ley de los senos dado que sabes $PT$ . $NP$ es igual al radio del círculo.
@MathLover, ¡gracias por la respuesta! Según tengo entendido, tu idea es la misma que la de Andrei. Sugieres que use la ley de los senos para el triángulo. $POT$ . Por favor, vea mi comentario debajo de la respuesta de Andrei.
No, directamente en $\triangle NPT$ . $\frac{\sin \angle {NTP}}{NP} = \frac{\sin 60^0}{3}$ . eso te da $NP$ . Ahora el diámetro es dos veces $NP$ .
@MathLover, mi punto aún se mantiene. Tenemos $\frac{3}{pecado 60^{\circ}} = \frac{R}{pecado 47^{\circ}} \Rightarrow R = 2 \sqrt{3} pecado 47^{\circ} .$ $\dfrac{3}{\sin60^\circ}=\dfrac{R}{\sin47^\circ}\Rightarrow R=2\sqrt3\sin47^\circ.$ Como no sabemos $\sin47^\circ$ , puedo dejar la respuesta en este formulario?
Sí, por supuesto, la respuesta es la misma y lo que dice Andrei también funciona. El diámetro es $4 \sqrt3 \sin 47^0$ . Puedes usar una calculadora y encontrar $\sin 47^0$ o dejarlo como tal.

Andrei · Answer 1

Andrei

Sugerencias: Conectar $O$ con $P$ . ¿Cuáles son los ángulos en $\triangle NOP$ ? Encuentre los ángulos en $\triangle TOP$ . Usa la ley de los senos. ¿Puedes tomarlo desde aquí?

Kaloyan K.

¡Gracias por la respuesta! lo tengo

∡ P O T = 120^{\circ}, ∡ T P O = 13^{\circ}

$\measuredangle POT=120^\circ,\measuredangle TPO=13^\circ$ y

∡ O T P = 47^{\circ}

$\measuredangle OTP=47^\circ$ . ¿Tengo razón? No conocemos los valores trigonométricos exactos de

13^{\circ}

$13^\circ$ y

47^{\circ}

$47^\circ$ . ¿Cómo se supone que debo usar la ley de los senos?

Andrei

\sin 47^{\circ} = 0.73135370161

$\sin 47^\circ=0.73135370161$ . Usas una calculadora para eso, o lo aproximas a partir de una serie de Taylor alrededor de

45^{\circ}

$45^\circ$ .

Punto en un diámetro de un círculo

Kaloyan K.

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Kaloyan K.

amante de las matemáticas

Kaloyan K.

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Andrei

Kaloyan K.

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