Acerca de la suposición de campo asintótico en QFT

Bueno, el caso es que estás forzando la teoría. La condición asintótica real de LSZ dice que (omito el factor$Z$por el bien de la simplicidad)

$$\langle \Psi_1| \Phi(f,t)| \Psi_2\rangle \to \langle \Psi_1 |\Phi^{\pm}(f,t)| \Psi_2\rangle \quad \mbox{for $t \to \pm \infty$}\tag{0}$$ dónde $$\langle\Psi_1 |\Phi(f,t)| \Psi_2\rangle := \int_{x^0=t} \langle\Psi_1 |\Phi(x)| \Psi_2\rangle \: \overleftrightarrow{\partial}_{x^0} \: f(x) d^3x \tag{1}$$ y $f= f(x)$es cualquier solución de la ecuación de campo libre y se desvanece rápidamente en el infinito espacial. Similarmente $$\langle\Psi_1 |\Phi^{\pm}(f,t)| \Psi_2\rangle := \int_{x^0=t} \langle\Psi_1|\Phi^\pm(x)| \Psi_2\rangle \: \overleftrightarrow{\partial}_{x^0} \: f(x) d^3x \tag{2}$$

Desde$\Phi$en (1) no satisface la teoría libre, el lado derecho de (1) depende de$t$y (0) puede tener sentido.

En cambio$\Phi^{\pm}$satisface la ecuación de campo libre y, por lo tanto, el lado derecho de (2) no depende de$t$. Los Estados$\Psi_i$pertenecen a un conjunto denso en el espacio de Hilbert generado por la aplicación repetida de respectivamente$a^\dagger_{in/out}(g)$en los estados asintóticos de vacío, donde$g$son soluciones suaves de la ecuación de KG que se desvanecen rápidamente en el infinito espacial.

Estás bastante lejos de las hipótesis escritas anteriormente.

ANEXO . Hay otra forma, menos rigurosa, de establecer la condición LSZ de una manera más familiar para los físicos. Primero obsérvese que, si$\Phi^\pm$es el campo libre en el futuro/pasado remoto, entonces

$$i\int_{x^0=t} \Phi^\pm(x) \overleftrightarrow{\partial}_{x^0} \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{(2\pi)^32k^0}} d^3x = a_\pm^\dagger(\vec{k})$$ donde es evidente que el lado derecho es independiente de $t$.

si reemplazamos$\Phi^\pm$para$\Phi$, la identidad anterior falla porque el campo que interactúa$\Phi$satisface una ecuación diferente a la de Klein-Gordon. La condición LSZ simplemente dice que esto es cierto si (a) tomando el límite para grandes$|t|$y (b) refiriéndose a los elementos de la matriz (no estoy seguro de los signos y coeficientes y omití el factor$Z$)

$$i\langle \Psi_1|\int_{x^0=t} \Phi^\pm(x) \overleftrightarrow{\partial}_{x^0} \frac{e^{-ikx}}{\sqrt{(2\pi)^32k^0}} d^3x |\Psi_2 \rangle \to \langle \Psi_1|a_\pm^\dagger(\vec{k})|\Psi_2 \rangle\quad \mbox{for $t \to \pm \infty$}\tag{4}$$ y $$-i\langle \Psi_1|\int_{x^0=t} \Phi^\pm(x) \overleftrightarrow{\partial}_{x^0} \frac{e^{ikx}}{\sqrt{(2\pi)^32k^0}} d^3x |\Psi_2 \rangle \to \langle \Psi_1|a_\pm(\vec{k})|\Psi_2 \rangle\quad \mbox{for $t \to \pm \infty$}\tag{5}$$ En todos los cálculos con fórmulas de reducción LSZ solo se explotan (4) y (5). La formulación ingenua popular $$\Phi(x)\rightarrow \Phi^{\pm}(x)$$ es incorrecto desde varios puntos de vista y, si se asume literalmente, conduce fácilmente a resultados evidentemente falsos como el señalado por el OP.