La contradicción entre el teorema de Gell-mann Low y la identidad del operador de Møller HΩ+=Ω+H0HΩ+=Ω+H0H\Omega_{+}=\Omega_{+}H_0

Esta pregunta se origina al leer la prueba de Gell-mann Low thoerem .

$H=H_0+H_I$, dejar$|\psi_0\rangle$ser un estado propio de$H_0$con valor propio$E_0$, y considere el vector de estado definido como

$$|\psi^{(-)}_\epsilon\rangle=\frac{U_{\epsilon,I}(0,-\infty)|\psi_0\rangle}{\langle \psi_0| U_{\epsilon,I}(0,-\infty)|\psi_0\rangle}$$ donde la definición de $U_{\epsilon,I}(0,-\infty)$se puede encontrar en el documento anterior

Teorema de Gell-Mann y Low: Si el$|\psi^{(-)} \rangle :=\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}|\psi^{(-)}_\epsilon\rangle$existir, entonces$|\psi^{(-)} \rangle$debe ser un estado propio de$H$con valor propio$E$. y el valor propio$E$se decide por la siguiente ecuación:

$$\Delta E= E-E_0=-\lim_{\epsilon\rightarrow 0^+} i\epsilon g\frac{\partial}{\partial g}\ln \langle\psi_0| U_{\epsilon,I}(0,-\infty)|\psi_0\rangle$$

Sin embargo, aprendemos en la teoría de la dispersión,

$$U_I(0,-\infty) = \lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}} U_{\epsilon,I}(0,-\infty) = \lim_{t\rightarrow -\infty} U_{full}(0,t)U_0(t,0) = \Omega_{+}$$ dónde $\Omega_{+}$es el operador de Møller. Podemos probar la identidad del operador de Møller $H\Omega_{+}= \Omega_{+}H_0$en la teoría de la dispersión. Dice que la energía del estado de dispersión no cambiará cuando active la interacción adiabáticamente.

Mi pregunta:

1. La única forma de evitar estas contradicciones es probar que$\Delta E$para el estado de dispersión de$H_0$debe ser cero. ¿Cómo probar? En general, debería ser que para el estado de dispersión no habrá cambio de energía, para el estado discreto habrá algún cambio de energía. Pero el teorema de Gell-Mann Low no me dice el resultado.

2. Parece que el teorema de Gell-Mann-Low es más poderoso que el teorema adiabático que requiere que exista una brecha alrededor del estado propio en evolución. Y el teorema de Gell-Mann-Low se puede aplicar a cualquier estado propio de$H_0$no importa si el estado es discreto, continuo o degenerado y no importa si hay un paso a nivel durante la evolución. Sin embargo la existencia de$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}|\psi^{(-)}_\epsilon\rangle$es molesto, lo que restringe fuertemente la aplicación de este teorema. ¿Existe algún criterio de existencia de$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}|\psi^{(-)}_\epsilon\rangle$? O dame un ejemplo explícito en el que esto no exista.

3.Parece que el teorema de Gell-Mann Low es un teorema adiabático generalizado, que puede usarse en espectro discreto o espectro continuo. Cómo probar el teorema de Gell-Mann Low puede volver al teorema adiabático en la condición del teorema adiabático. Necesidad de demostrar que el$\lim_{\epsilon\rightarrow 0^{+}}|\psi^{(-)}_\epsilon\rangle$existen dado el requisito del teorema adiabático.