Función de Green en enfoque integral de trayectoria (QFT)

Question

Función de Green en enfoque integral de trayectoria (QFT)

Física
dispersión
integral de trayectoria
teoría de la matriz s
greens-funciones
teoría cuántica de campos

Cazador

Después de haber estudiado la cuantización canónica y sentirme (relativamente) cómodo con ella, ahora he estado estudiando el enfoque de la integral de trayectoria. Pero no me siento del todo cómodo con.

Tengo la sensación de que el objetivo principal del enfoque de integral de ruta es calcular la función de Green:

{GRAMO}^{(norte)} (X_{1}, \dots, X_{norte}) = ⟨ 0 | T {ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{norte})} | 0 ⟩ = {(\frac{1}{i})}^{norte} \frac{d^{norte} W [j]}{d j (X_{1}) \dots d j (X_{norte})} |_{j = 0}

$\begin{equation} G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n) = \langle 0 | \mathcal{T} \{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n) \} |0\rangle = \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \ldots \delta J(x_n)}\biggr|_{J=0} \end{equation}$ donde, por simplicidad, he considerado el campo escalar neutro

ϕ

$\phi$ y

T

$\mathcal{T}$ denota el operador de ordenación temporal. Tengo problemas para entender el significado físico de la función de Green.

Entiendo que para el procedimiento de cuantización canónica, es decir, cuando $\phi$ es un operador de campo , $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ es el valor esperado de vacío. Sin embargo, si lo entiendo correctamente, en el enfoque integral de ruta consideramos $\phi$ ser un campo clásico . No entiendo cómo riman estas dos imágenes diferentes.

Además, para el formalismo de cuantización canónica, podemos representar la matriz S:

S_{F i} = ⟨ F | S | i ⟩

$\begin{equation} S_{fi} = \langle f | S | i \rangle \end{equation}$ por diagramas de Feynman. Por otro lado, para el enfoque de integral de trayectoria parece que representamos

G^{(n)} (x_{1}, \dots, x_{n})

$G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ por diagramas de Feynman. ¿Estos diagramas de Feynman para los dos enfoques diferentes representan de alguna manera la misma amplitud de dispersión?

Básicamente, siento que no puedo ver el bosque por los árboles, y espero que alguien pueda aclarar los problemas descritos anteriormente.

PD, hemos derivado la fórmula de reducción LSZ y, por lo tanto, entiendo que en el formalismo de cuantización canónica podemos expresar los elementos de la matriz S en términos de $G^{(n)}(x_1,\ldots,x_n)$ . Sin embargo, nuestro disertante nos dijo que nadie usa realmente la fórmula LSZ con fines prácticos y, por lo tanto, no creo que esto responda a mis preguntas.

Respuestas (1)

Función de Green en enfoque integral de trayectoria (QFT)

joshfísica · Answer 1

Buena pregunta; Recuerdo pasar horas tratando de entender esto cuando aprendí QFT por primera vez. Abordemos sus dos puntos principales a la vez. Primero, dices

No entiendo cómo riman estas dos imágenes diferentes.

Describamos cómo conectar las dos imágenes en pasos. Es un buen ejercicio tratar de resolver todos los detalles sangrientos por ti mismo, ¡así que te animo a que lo intentes!

Para cada configuración de campo clásica admisible $\varphi:\mathbb R^3\to \mathbb R$ , dejar $|\varphi,t\rangle$ denota un estado propio de configuración de campo en el momento $t$ . A saber, $\begin{aligned} \hat{ϕ} (t, X) | φ, t ⟩ = φ (X) | φ, t ⟩ . \end{aligned}$ $\begin{align} \hat \phi(t,\mathbf x)|\varphi,t\rangle = \varphi( \mathbf x)|\varphi,t\rangle. \end{align}$ Tome nota especial del hecho de que $\hat\phi$ y $\varphi$ son diferentes. La primera es una distribución de valores de operador definida en el espacio-tiempo, mientras que la última es una configuración de campo clásica definida solo en el espacio.
Demostrar que dadas configuraciones de campo clásicas admisibles $\varphi_a,\varphi_b:\mathbb R^3\to \mathbb R$ , hay una expresión integral funcional simple para el valor esperado ordenado en el tiempo de $|\varphi_a, t_a\rangle$ a $|\varphi_b, t_b\rangle$ del producto de una secuencia finita de operadores de campo:
$\begin{aligned} ⟨ φ_{b}, t_{b} | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{norte})] & | φ_{a}, t_{a} ⟩ \\ (⋆) & = \int_{ϕ (t_{a}, X) = φ_{a} (X)}^{ϕ (t_{b}, X) = φ_{b} (X)} D ϕ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{norte}) {mi}^{i S_{t_{a}, t_{b}} [ϕ]} \end{aligned}$ $\begin{align} \langle \varphi_b, t_b| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]&|\varphi_a, t_a\rangle \\ &= \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]} \tag{$\star$} \end{align}$ donde hemos definido $\begin{aligned} S_{t_{a}, t_{b}} [ϕ] = \int_{t_{a}}^{t_{b}} d t \int d^{3} X L_{ϕ} (t) \end{aligned}$ $\begin{align} S_{t_a,t_b}[\phi] = \int_{t_a}^{t_b}dt\int d^3\mathbf x \,\mathscr L_\phi(t) \end{align}$ y $\mathscr L_\phi$ es la densidad lagrangiana de la teoría.
Demuestre que el valor esperado en el lado izquierdo de $(\star)$ se puede utilizar para calcular un valor esperado de vacío correspondiente (vev);
$\begin{aligned} \underset{t \to (1 - i ϵ) \infty}{límite} \frac{⟨ φ_{b}, t | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{norte})] | φ_{a}, - t ⟩}{⟨ φ_{b}, t | φ_{a}, - t ⟩} & = ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{norte})] | 0 ⟩ \end{aligned}$ $\begin{align} \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty} \frac{\langle \varphi_b, t| T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|\varphi_a, -t\rangle}{\langle \varphi_b, t |\varphi_a, -t\rangle} &= \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align}$ dónde $\epsilon$ es un "infinitesimal positivo" (es decir, se toma el $\epsilon\to 0$ límite al final). Esto a menudo se llama el $i\epsilon$ prescripción; observe que es básicamente un truco inteligente para proyectar el estado fundamental a partir de un valor esperado general.
Observe que la integración funcional en el lado derecho de $(\star)$ Se puede escribir como
$\begin{aligned} \int_{ϕ (t_{a}, X) = φ_{a} (X)}^{ϕ (t_{b}, X) = φ_{b} (X)} D ϕ ϕ (X_{1}) \dots ϕ (X_{norte}) {mi}^{i S_{t_{a}, t_{b}} [ϕ]} = {(\frac{1}{i})}^{norte} \frac{d^{norte} Z_{t_{a}, φ_{a}, t_{b}, φ_{b}} [j]}{d j (X_{1}) \dots d j (X_{norte})} |_{j = 0} \end{aligned}$ $\begin{align} \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi] }=\left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}$ donde hemos definido $\begin{aligned} Z_{t_{a}, φ_{a}, t_{b}, φ_{b}} [j] = \int_{ϕ (t_{a}, X) = φ_{a} (X)}^{ϕ (t_{b}, X) = φ_{b} (X)} D ϕ {mi}^{i S_{t_{a}, t_{b}} [ϕ] + i \int_{t_{a}}^{t_{b}} \int d^{3} X j (X) ϕ (X)} \end{aligned}$ $\begin{align} Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J] = \int\limits_{\phi(t_a,\mathbf x) = \varphi_a(\mathbf x)}^{\phi(t_b,\mathbf x) = \varphi_b(\mathbf x)} \mathscr D\phi \,e^{iS_{t_a,t_b}[\phi]+ i\int_{t_a}^{t_b}\int d^3\mathbf x\,J(x)\phi(x)} \end{align}$
Combine los pasos 2-4 para mostrar que si definimos
$\begin{aligned} W [j] = \underset{t \to (1 - i ϵ) \infty}{límite} \frac{Z_{t_{a}, φ_{a}, t_{b}, φ_{b}} [j]}{Z_{t_{a}, φ_{a}, t_{b}, φ_{b}} [0]}, \end{aligned}$ $\begin{align} W[J] = \lim_{t\to(1-i\epsilon)\infty}\frac{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[J]}{Z_{t_a, \varphi_a, t_b, \varphi_b}[0]}, \end{align}$ luego obtenemos nuestra expresión deseada que da valores esperados de vacío en términos de integrales de trayectoria: $\begin{aligned} ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{norte})] | 0 ⟩ & = {(\frac{1}{i})}^{norte} \frac{d^{norte} W [j]}{d j (X_{1}) \dots d j (X_{norte})} |_{j = 0} \end{aligned}$ $\begin{align} \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle &= \left(\frac{1}{i}\right)^n \frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1)\cdots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0} \end{align}$

Darse cuenta de

\begin{aligned} {GRAMO}^{(norte)} (X_{1}, \dots, X_{norte}) = ⟨ 0 | T [\hat{ϕ} (X_{1}) \dots \hat{ϕ} (X_{norte})] | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} G^{(n)}(x_1, \dots, x_n) = \langle 0|T\big[\hat \phi(x_1)\cdots \hat \phi(x_n)\big]|0\rangle \end{align}$ es solo una sugerente definición que nos hace pensar en las funciones de Green. Es sugerente porque, por ejemplo,

G^{(2)} (x_{1}, x_{2})

$G^{(2)}(x_1, x_2)$ , la llamada "función de dos puntos", es la función de Green para la teoría de campo clásica correspondiente.

En segundo lugar, usted pregunta

¿Estos diagramas de Feynman para los dos enfoques diferentes representan de alguna manera la misma amplitud de dispersión?

La fórmula de reducción LSZ es la respuesta a la pregunta de cómo vevs, o de manera equivalente las funciones de Green, se relacionan con la $S$ -matriz y amplitudes de dispersión, y arriba hemos argumentado cómo el formalismo canónico (que se formula en términos de vevs) está relacionado con el formalismo integral funcional, por lo que hemos encontrado cómo el formalismo integral funcional nos permite calcular el $S$ -matriz. En la práctica, es cierto que no se ve a la gente usando explícitamente la fórmula de reducción de LSZ, pero eso se debe a que, aunque conceptualmente subyace a la conexión entre las funciones de Green y la $S$ -matrix, en la práctica, la gente ya ha usado LSZ para justificar reglas codificadas, a saber, reglas de Feynman, que permiten pasar directamente de los diagramas de Feynman (que simplemente representan términos en las expansiones perturbativas de las integrales de Feynman) a amplitudes de dispersión.

Función de Green en enfoque integral de trayectoria (QFT)

Cazador

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joshfísica

¿Cuál es el sentido de introducir generadores funcionales a los sumandos de expansión de S-matrix?

Matriz S en Weinberg QFT

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