Propiedad distributiva del símbolo de ordenación temporal

Question

Propiedad distributiva del símbolo de ordenación temporal

Física
operadores
teoría de la matriz s
mecánica cuántica
teoría cuántica de campos
funciones de correlación

agc

La mayoría de las derivaciones de la fórmula de reducción LSZ , por ejemplo, Srednicki (ecuaciones 5.13, 5.14, 5.15), Schwartz (ecuaciones 6.17, 6.18, 6.19), Wikipedia usan una propiedad del símbolo de ordenamiento temporal que se parece a la propiedad distributiva.

Los pasos relevantes son (estoy usando una sola partícula de entrada y salida para simplificar las expresiones):

\begin{aligned} ⟨ 0 | a_{2} (+ \infty) a_{1}^{†} (- \infty) | 0 ⟩ & = ⟨ 0 | T a_{2} (+ \infty) a_{1}^{†} (- \infty) | 0 ⟩ \\ = ⟨ 0 | T (a_{2} (- \infty) + \int d t_{2} \partial_{0} a_{2} (t_{2})) (a_{1}^{†} (+ \infty) + \int d t_{1} \partial_{0} a_{1}^{†} (t_{1})) | 0 ⟩ \\ = ⟨ 0 | T (\int d t_{2} \partial_{0} a_{2} (t_{2})) (\int d t_{1} \partial_{0} a_{1}^{†} (t_{1})) | 0 ⟩ \\ = \int d t_{1} d t_{2} ⟨ 0 | T a_{2} (t_{2}) a_{1}^{†} (t_{1}) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|a_{2}(+\infty)a_1^\dagger(-\infty)|0\rangle &= \langle 0|{\rm T} a_{2}(+\infty)a_1^\dagger(-\infty)|0\rangle\\ &= \langle 0|{\rm T} \left(a_{2} (-\infty)+\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) \left(a_{1}^\dagger (+\infty)+\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle \\ &= \langle 0|{\rm T} \left(\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) \left(\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle \\ &= \int dt_{1}dt_{2} \langle 0| {\rm T}a_{2}(t_{2})a_{1}^\dagger(t_{1})|0\rangle \\ \end{align}$ Aquí la propiedad distributiva se usa dos veces: primero para hacer que los operadores de escalera aniquilen los estados de vacío (línea 3) y luego para intercambiar el símbolo de ordenación temporal con el operador integral (línea 4).

La expresión final es como la espero: es natural que los operadores se apliquen en el orden dado por su argumento de tiempo. Sin embargo, esta propiedad está lejos de ser trivial, ya que funciona incluso cuando un operador se descompone en una suma de operadores en diferentes momentos.

Entonces, mis preguntas son: ¿cuáles son las condiciones (por ejemplo, qué operadores, cómo deben descomponerse...) para que se cumpla esta propiedad? Y, lo más importante, ¿hay alguna prueba de ello?

Editar : para aclarar lo que quiero decir con "propiedad distributiva":

\begin{aligned} ⟨ 0 | T (a_{2} (- \infty) + \int d t_{2} \partial_{0} a_{2} (t_{2})) & (a_{1}^{†} (+ \infty) + \int d t_{1} \partial_{0} a_{1}^{†} (t_{1})) | 0 ⟩ = \\ ⟨ 0 | T a_{2} (- \infty) a_{1}^{†} (+ \infty) | 0 ⟩ \\ + & ⟨ 0 | T a_{2} (- \infty) (\int d t_{1} \partial_{0} a_{1}^{†} (t_{1})) | 0 ⟩ \\ + & ⟨ 0 | T (\int d t_{2} \partial_{0} a_{2} (t_{2})) a_{1}^{†} (+ \infty) | 0 ⟩ \\ + & ⟨ 0 | T (\int d t_{2} \partial_{0} a_{2} (t_{2})) (\int d t_{1} \partial_{0} a_{1}^{†} (t_{1})) | 0 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} \langle 0|{\rm T} \left(a_{2} (-\infty)+\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) &\left(a_{1}^\dagger (+\infty)+\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle =\\ &\langle 0|{\rm T} a_{2} (-\infty) a_{1}^\dagger (+\infty)|0\rangle \\ +&\langle 0|{\rm T} a_{2} (-\infty)\left(\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle\\ +&\langle 0|{\rm T} \left(\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) a_{1}^\dagger (+\infty)|0\rangle\\ +&\langle 0|{\rm T} \left(\int dt_{2} \partial_0 a_{2}(t_{2})\right) \left(\int dt_{1} \partial_0 a_{1}^\dagger(t_{1})\right)|0\rangle \end{align}$

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qmecanico · Answer 1

Comentarios a la pregunta (v3):

El producto ordenado por tiempo de los operadores
$\begin{matrix} (1) & T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{norte} (t_{norte})] := \sum_{π \in S_{norte}} θ (t_{π (1)} > \dots > t_{π (norte)}) (- 1)^{ε_{π, A}} A_{π (1)} (t_{π (1)}) \dots A_{π (norte)} (t_{π (norte)}) \end{matrix}$ $T[A_1(t_1)\ldots A_n(t_n)] ~:=~\sum_{\pi\in S_n} \theta \left(t_{\pi(1)} > \ldots > t_{\pi(n)} \right) (-1)^{\varepsilon_{\pi,A}} A_{\pi(1)}(t_{\pi(1)})\ldots A_{\pi(n)}(t_{\pi(n)}) \tag{1}$ se clasifica como simétrica. [Aquí $(-1)^{\varepsilon_{\pi,A}}$ es un factor de signo en el caso de operadores impares de Grassmann.] Tenga en cuenta que el producto ordenado por tiempo (1) solo se define para operadores monolocales $A_i(t_i)$ , es decir, cuando cada operador $A_i(t_i)$ depende de una sola vez $t_i$ cada.
La fórmula (1) no tiene sentido para los operadores bilocales $B(t_1,t_2)$ (y más generalmente operadores multilocales $M(t_1,\ldots t_m)$ ), a menos que se puedan descomponer en operadores monolocales. A continuación, ampliamos la definición (1) a través de la multilinalidad . Esto significa, en particular, que el producto ordenado por tiempo $T$ satisface la ley distributiva por construcción, por ejemplo
$T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) {B (t_{b}) + C (t_{C})} A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})]$ $T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \left\{B(t_b)+C(t_c) \right\}A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $:= T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) B (t_{b}) A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})]$ $~:=~T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) B(t_b)A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $\begin{matrix} (2) & + T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) C (t_{C}) A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})] \end{matrix}$ $+T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i)C(t_c)A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]\tag{2}$ Si $t_b\neq t_c$ , entonces el lado izquierdo de la ec. (2) no tiene un significado independiente. Si $t_b=t_c$ , entonces la ec. (2) se sigue de la definición (1).
Usando el teorema fundamental del cálculo , podemos considerar una suma telescópica :
$T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) {B (t = \infty) - B (t = - \infty)} A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})]$ $T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \left\{B(t\!=\!\infty)- B(t\!=\!-\infty) \right\} A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $= T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) {\int_{R} d t \frac{d B (t)}{d t}} A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})]$ $~=~ T\left[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \left\{\int_{\mathbb{R}}\! dt~\frac{dB(t)}{dt} \right\} A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)\right]$ $= \int_{R} d t T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) \frac{d B (t)}{d t} A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})]$ $~=~ \int_{\mathbb{R}}\! dt~T\left[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) \frac{dB(t)}{dt} A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)\right]$ $+ \sum_{i = 1}^{norte} \int_{R} d t d (t - t_{i}) T [A_{1} (t_{1}) \dots [A_{i} (t_{i}), B (t_{i})] A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})]$ $+\sum_{i=1}^n\int_{\mathbb{R}}\! dt~\delta(t-t_i)~T[A_1(t_1)\ldots [A_i(t_i), B(t_i)] A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)]$ $\begin{matrix} (3) & = \int_{R} d t \frac{d}{d t} T [A_{1} (t_{1}) \dots A_{i} (t_{i}) B (t) A_{i + 1} (t_{i + 1}) \dots A_{norte} (t_{norte})], \end{matrix}$ $~=~\int_{\mathbb{R}}\! dt\frac{d}{dt} T[A_1(t_1)\ldots A_i(t_i) B(t) A_{i+1}(t_{i+1})\ldots A_n(t_n)], \tag{3}$ lo que produce una ley de tipo distributivo.
Ahora, para el paso mencionado en la prueba de la fórmula de reducción LSZ , el cálculo se puede organizar de manera que las propiedades distributivas (2) y (3) sean suficientes. Además de la ley distributiva, hay varios otros puntos sutiles en la derivación, como, por ejemplo, términos de contacto. Ver, por ejemplo, esta publicación Phys.SE relacionada.

Gracias por la respuesta detallada. Usted dice que "el cálculo se puede organizar de tal manera que las propiedades distributivas (2) y (3) sean suficientes": ¿podría proporcionar una referencia a un libro o un recurso web donde se haga esto en detalle? Los libros que mencioné anteriormente ni siquiera mencionan este tema, y Weinberg llega a la fórmula utilizando un método diferente. Sin embargo, lo acepto ya que responde completamente a mi pregunta (que trata sobre T, no sobre LSZ).

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