¿Existe una mecánica cuántica análoga a la interacción cuártica λϕ4λϕ4\lambda \phi^{4} de QFT?

La transición de regreso a la mecánica cuántica ordinaria se logra calculando la forma en que las amplitudes de probabilidad en el$N$-Los estados de las partículas evolucionan con el tiempo. Cuando se hace eso, las partículas interactúan con "términos de contacto", potenciales que son proporcionales a$\delta(\mathbf{x}_i-\mathbf{x}_j)$. Para obtener más detalles, consulte el desarrollo realizado en el primer capítulo de la "Teoría cuántica de campos de partículas puntuales y cuerdas" de Brian Hatfield.

Dicho esto, a menudo se repite que la mecánica cuántica ordinaria es solo teoría cuántica de campos con cero dimensiones espaciales. Bajo el mapeo implícito el$\phi^4$la teoría se convertiría

$$H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2}{2}x^2 + \lambda x^4.$$ Con un número contable de partículas siendo solo una suma al agregar índices a $p$y $x$.

La transición de regreso a la mecánica continua es complicada, y no conozco todos los detalles con certeza (los libros de texto generalmente se vuelven un poco confusos sobre este camino). Sin embargo, puedo decir con confianza que cualquier término que mezcle$x_i \rightarrow f_i \sqrt{h^3}$con diferentes índices, donde$h$es el espacio entre sitios adyacentes, se convertirá en un derivado o desaparecerá en la transición del continuo. El$\lambda$de la teoría discreta tendría que ser remapeado por$\lambda\rightarrow \lambda h^{-3}$, por ejemplo, para mantener la$\lambda \phi^4$término de desaparecer en el límite$h \rightarrow 0$. Toda la$m_i$tendría que ser lo mismo (digamos,$1$), por la invariancia de Lorentz, y los resortes que conectan el$x_i$tendría que tener constantes de resorte que divergieran como$h^{-1}$para producir las derivadas espaciales entre los sitios necesarios. Entonces, el hamiltoniano intermedio viene dado por

$$\begin{align} H &= \sum_{i,j,k=-N}^N \left[\frac{1}{2}p_{i,j,k}^2 h^3 + \frac{1}{2} (f_{i+1,j,k}-f_{i,j,k})^2 h^2 + \frac{1}{2} (f_{i,j+1,k}-f_{i,j,k})^2 h^2 + \frac{1}{2} (f_{i,j,k+1}-f_{i,j,k})^2 h^2 \right. \\ & \hphantom{= \sum_{i,j,k=-N}^N}\ \ \left. + \frac{m^2}{2}f_{i,j,k}^2 h^3 + \lambda f_{i,j,k}^4 h^3\right] \end{align}$$ y la mecánica del continuo se recupera aplicando $\lim_{h\rightarrow 0}\lim_{N\rightarrow \infty}$.

Tenga en cuenta que la transformación donde$x_i\rightarrow f_i\sqrt{h^3}$y$p_i\rightarrow p_i\sqrt{h^3}$no es un cambio canónico de variables. A partir del lagrangiano, es sencillo mostrar a partir de la definición canónicamente conjugada de impulso que$p_i$se transformaría como$p_i \rightarrow p_i h^{-3/2}$Si fuera. Lo que sucede aquí es que, para obtener un hamiltoniano limpio que se convierta en una integral de una densidad, necesitamos modificar la relación de conmutación canónica para que diga

$$[f_{i,j,k},\, p_{n,\ell,m}] = i\hbar \delta_{in}\delta_{j\ell}\delta_{km} h^{-3},$$ donde el lado derecho ahora en realidad se convierte en una función delta de Dirac en el límite continuo, en lugar de simplemente decir que los deltas de Kronecker se convierten en deltas de Dirac.

Dicho todo esto, hay una razón por la que la transición habitual de regreso a QM ordinaria mencionada en el primer párrafo es tan complicada. En QM ordinario$x$es la posición observable de alguna partícula. En QFT, las posiciones de las partículas siguen siendo los observables fundamentales, solo que ahora las partículas se describen como excitaciones en un campo. Sin embargo, la intensidad del campo no se puede observar directamente, solo se puede inferir en promedio cuando es lo suficientemente fuerte como para no verse significativamente perturbada por la inyección de múltiples partículas de prueba pequeñas cuyas posiciones medimos.