Amplitud de transición, ⟨f|i⟩⟨f|i⟩\langle f|i\rangle o ⟨f|S|i⟩⟨f|S|i⟩\langle f|S|i\rangle?

No conozco estos libros específicamente, pero lo que creo que está sucediendo es que te falta información sobre$|i\rangle$. Puede establecer la amplitud de transición en ambos sentidos con el contexto adecuado, que es: representar como$\langle f|i\rangle$es implícito que$|i\rangle$ya es un estado evolucionado, más explícitamente podría parametrizarlo con el tiempo y luego tendría una amplitud de transición a la vez$t$,$\langle f|i(t)\rangle=\langle f|(\textbf{U}|i(0)\rangle)$; por otro lado cuando escribes$\langle f|\textbf{S}|i\rangle$esto quiere decir que la evolución del estado inicial se está haciendo por un proceso de dispersión, en relación con este último caso, estamos diciendo que la evolución del estado inicial se hace por$\textbf{U}=\textbf{S}$, o$\langle f|\textbf{S}|i\rangle$. ¡Espero que esto te ayude de alguna manera!

La notación es algo incompleta: en la teoría de dispersión, los estados en$|i\rangle_{in}$y fuera de los estados$|f\rangle_{out}$viven en diferentes espacios de Hilbert. Entonces$\langle f | i\rangle$realmente se supone que significa$_{out}\langle f | i \rangle_{in}$, con el significado de que se va a aplicar un isomorfismo que se traduce$\mathcal H_{in}$en$\mathcal H_{out}$. Ese isomorfismo es la matriz de dispersión.$S$, es decir$_{out}\langle f | i \rangle_{in} := \langle f | S | i \rangle$y en el lado derecho$|i\rangle$y$|f\rangle$ahora vive en el mismo espacio de Hilbert.

Según indica Joao,$S$es esencialmente evolución temporal, es decir, un operador de evolución temporal$U(t_{final}=+\infty ,\ t_{initial}=-\infty)$.

Por lo general, en la teoría de la dispersión, se consideran estados propios de momento y elecciones particulares de partículas. Entonces la notación abreviada$\langle f| i \rangle$parece que solo podría ser distinto de cero si$|f\rangle = |i\rangle$. Por supuesto, eso no es cierto en la dispersión, y la ilusión solo surge debido a la notación perezosa.