¿Cómo puedo mostrar que la inversión está continuamente conectada a una reflexión?

Recuerde que el grupo conforme (global) está dado por

$${\rm Conf}(p,q)~\cong~O(p\!+\!1,q\!+\!1)/\{\pm {\bf 1} \},\tag{1}$$

cf. por ejemplo, esta publicación de Phys.SE. Usando la incrustación$\imath: \mathbb{R}^{p,q}\hookrightarrow \overline{\mathbb{R}^{p,q}}$en la compactación conforme$\overline{\mathbb{R}^{p,q}}$, se puede mostrar después de un breve cálculo que el mapa de inversión$I:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$, dada por

$$I(x)~:=~\frac{x}{\eta^{p,q}(x,x)} ,\tag{2}$$

está representado por el$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$matriz

$$I~=~{\rm diag}(-1,1,1,\ldots, 1) . \tag{3}$$

En segundo lugar, la reflexión$R:\mathbb{R}^{p,q}\to \mathbb{R}^{p,q}$de la primera coordenada, dada por

$$R(x)~:=~(-x^1,x^2,\ldots,x^{p+q}),\tag{4}$$

está representado por el$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$matriz

$$R~=~{\rm diag}(1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{5}$$

Por lo tanto la composición$IR$está representado por el$O(p\!+\!1,q\!+\!1)$matriz

$$IR~=~{\rm diag}(-1,-1,1,\ldots, 1) . \tag{6}$$

Ahora podemos reformular la pregunta de OP de la siguiente manera.

Pregunta: ¿Cuándo la composición$IR$pertenecen al componente conexo${\rm Conf}_0(p,q)$que contiene el elemento de identidad?

Respuesta: Se puede demostrar que esto sucede precisamente

• si$p>0$, o

• si$p=0$y$q$es impar,

usando el hecho de que el grupo ortogonal indefinido $O(p\!+\!1,q\!+\!1)$tiene cuatro componentes conectados y métodos esbozados en la publicación Phys.SE mencionada anteriormente .

Ejemplo: en el caso euclidiano 2D$\mathbb{R}^{2,0}\cong \mathbb{C}$con$p=2$y$q=0$, la inversión (2) es

$$I(z)~=~\frac{1}{\bar{z}}, \tag{7}$$

la reflexión (4) es menos conjugación compleja

$$R(z)~=~-\bar{z},\tag{8}$$

y la composición$IR$es la transformación de Möbius

$$IR(z) ~=~-\frac{1}{z},\tag{9}$$

que está representado por el$SL(2,\mathbb{C})$matriz

$$\begin{pmatrix} 0 &\pm 1 \cr \mp 1 &0 \end{pmatrix}. \tag{10}$$ La transformación de Möbius (9) - (10) pertenece a la componente conexa

$${\rm Conf}_0(2,0)~\cong~ SO^+(3,1) ~\cong~SL(2,\mathbb{C}) /\{\pm {\bf 1} \},\tag{11}$$

que contiene el elemento de identidad, es decir, el grupo de Lorentz restringido .

Conceptualmente, la idea es que planos y esferas son equivalentes desde el punto de vista de la geometría conforme. Las transformaciones conformes asignan {planos, esferas} a {planos, esferas} y, de hecho, lo hacen de forma transitiva: cualquier objeto del conjunto {planos, esferas} se puede obtener de cualquier otro mediante una transformación conforme.

La inversión es un reflejo contra una esfera, y solo tienes que conjugarlo mediante una transformación que convierte esta esfera en un plano para obtener un reflejo. Esta última transformación se puede conectar a una trivial continuamente moviendo el centro de la esfera al infinito mientras se mantiene fijo un punto en el límite.

Más precisamente, supongamos que$T_1$asigna la esfera unitaria a un plano$x_1=const$. Entonces

$$R_1=T_1IT_{1}^{-1}$$ es un reflejo si $I$es la inversión estándar con respecto a la esfera unitaria. Si tenemos una homotopía $T_t$, $t\in[0,1]$entre $T_1$y $T_0=\mathrm{id}$, entonces tenemos una homotopía entre $R_1$un reflejo y $R_0=I$la inversión estándar.

Para encontrar tal homotopía, considere la transformación conforme especial, que viene dada por

$$K(a)=IP(a)I= x_\mu\mapsto \frac{x_\mu+a_\mu x^2}{1+a^2x^2+2(a\cdot x)}$$ para $P(a)$la traducción por $a$. La idea es que la primera inversión mapea la esfera unitaria a sí misma, y ​​luego podemos traducir por $a=(1,0,0,\ldots)$para mapear el punto $-a$de la esfera unitaria al origen, que luego será mapeado al infinito por la segunda inversión. Una esfera con un punto en el infinito es un plano. Es fácil ver que vendrá dada por la ecuación $x_1=1/2$al considerar de dónde viene el punto $a$del mapa de esferas, junto con la simetría del constructo.

Así podemos tomar$T_t=K(ta)$, desde$K(0)=\mathrm{id}$. Es algo complicado resolver las fórmulas explícitas, pero el concepto debe ser claro.

pensando en la esfera$S^n$como la compactación en un punto de$\mathbb{R}^n$, podemos considerar la proyección estereográfica desde el plano definido por$x^0 = 0$a la esfera unitaria$\{x\in \mathbb{R}^n\,:\,|x| = 1\}$. Este mapa está realmente definido en$\mathbb{R}^n\cup\{\infty\}$, toma el punto$\infty$al polo norte de la esfera unitaria. Además, estos dos subconjuntos son exactamente los conjuntos de puntos fijos de$R$y$I$, respectivamente. Ambos mapas se comportan como reflejos sobre estos conjuntos de puntos fijos, como insinuó. Usando la imagen geométrica de la proyección estereográfica (el mapa jala el punto en el plano a lo largo de una línea que conecta ese punto con el polo norte de la esfera unitaria hasta que toca la esfera por primera vez), vemos que podemos pasar continuamente del mapa de identidad a el mapa de proyección moviéndose continuamente a lo largo de estas líneas. Debería poder escribir las fórmulas relevantes sin demasiados problemas. También podemos parametrizar este proceso por$t\in [0,1]$para que la imagen del avión en$t = 0$es el propio avión y en el momento$t = 1$es la esfera unidad. Denotamos por$S_t$la imagen de este mapa en el tiempo$t$. Definición de una familia de mapas de$S^n$ser el reflejo a través$S_t$en el momento$t$da un camino continuo desde$R$a$I$en el espacio de los mapas de$S^n$a sí mismo.

Dependiendo de los detalles del problema, es posible que deba verificar si esta ruta de mapas está contenida en el grupo conforme (es decir, para cada$t\in [0,1]$si el reflejo a través$S_t$es conforme).