¿No debería toda transformación de coordenadas conservar los ángulos entre vectores? En caso afirmativo, ¿por qué es especial la transformación conforme?

Sí, todas las transformaciones de coordenadas conservan los ángulos entre vectores porque las transformaciones de coordenadas son simplemente cambios en la forma en que una variedad en particular se mapea en$\mathbb{R}^n$. Entonces, un sistema de coordenadas para (un subconjunto abierto de) una variedad$\mathcal{M}$es una biyeccion$f: U\subseteq\mathcal{M}\to V\subseteq\mathbb{R}^n$. Dados dos sistemas de coordenadas definidos por$f$y$g$que cubren los mismos parches de$\mathcal{M}$y$\mathbb{R}^n$entonces una transformación de coordenadas entre ellos es solo un mapa$g \circ f^{-1}: V\to V$.

Obviamente, tal cosa no puede cambiar nada sobre la variedad o su métrica: solo cambia la forma en que la representamos . No hay coordenadas en la naturaleza, por lo que cambiar las coordenadas no puede cambiar ninguna física, nunca.

Pero una transformación conforme no es una transformación de coordenadas: es un cambio en la métrica misma. En general, tal cambio puede alterar los ángulos entre vectores, porque podemos elegir la métrica que queramos para$\mathcal{M}$siempre y cuando cumpla con los requisitos para ser una métrica.

Sin embargo, un tipo restringido de tales transformaciones conserva los ángulos: aquellos en los que$\mathbf{g}'(p) = \alpha(p)\mathbf{g}(p)$, dónde$\mathbf{g}$,$\mathbf{g}'$son las métricas antiguas y nuevas,$p\in\mathcal{M}$y$\alpha(p)$es una función de$p$.

Puede, de manera más o menos equivalente, hablar de transformaciones conformes como difeomorfismos entre diferentes variedades, de modo que las métricas están relacionadas por un factor escalar (o, en realidad, la métrica retirada está relacionada por un factor escalar con el 'nativo'). ' métrica). Puede ver que esto es básicamente lo mismo, pero le permite pensar en relaciones conformes entre variedades que obviamente no son lo mismo: los diagramas de Penrose son un buen ejemplo de eso.

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Tenga en cuenta que aquí estoy hablando de transformaciones conformes (también llamadas asignaciones conformes) tal como se usan en GR. Creo que la otra respuesta realmente habla de transformaciones conformes entre sistemas de coordenadas, que es algo diferente (aunque relacionado). Así que asumo aquí de qué se trata la pregunta y mi suposición podría ser incorrecta.

Dejar$\mathcal{M}^d$ser un$d$-dimensional$(p,q)$Variedad de Riemann y sea$f\colon \mathcal{M}^d\to\mathcal{M}^d$Sea una transformación de coordenadas. Se dice que tal transformación es conforme si, por definición,

$$g'_{\mu\nu}(x') = e^{\omega(x)}g_{\mu\nu}(x)$$ $x' = f(x)$siendo la forma en que las coordenadas se ven afectadas por dicha transformación (obviamente, para ser pensado en componentes). La elaboración de la definición anterior conduce al siguiente conjunto de posibles transformaciones: $$x'^{\mu} = x^{\mu} + a^{\mu}\qquad \textrm{translations}$$ $$x'^{\mu} = \lambda x^{\mu}, \quad \lambda\in\mathbb{R}\qquad \textrm{dilations}$$ $$x'^{\mu} = \Lambda^{\mu}_{\nu}x^{\nu}\quad \Lambda\in\textrm{SO}(p,q)\qquad \textrm{Lorentz}$$ $$x'^{\mu} = \frac{x^{\mu}-b^{\mu}x^2}{1-2b\cdot x +b^2 x^2} \qquad\textrm{special conformal}$$ los anteriores son la única colección de transformación que satisface el requisito original de que la métrica cambie solo por un factor de escala (positivo). En la terminología estándar, se dice que las transformaciones conformes conservan los ángulos, ya que obviamente es así dado el prefactor multiplicativo que se cancela al calcular los productos escalares y luego dividirlos por la norma de los vectores originales.

A continuación muestro que el producto escalar no cambia por una transformación de coordenadas.

Bueno, el producto escalar es, por definición de escalar, no cambia por un cambio de coordenadas, no hay necesidad de calcular nada.