¿Cómo definir la distancia entre dos puntos en un espacio transformado conforme?

Question

¿Cómo definir la distancia entre dos puntos en un espacio transformado conforme?

marqués de drake

Considere una transformación conforme particular $x^\mu\rightarrow x'^\mu$ , y la métrica de un espacio plano se transforma de la siguiente manera,

η_{m v} \to {gramo}_{m v}^{'} = Λ^{2} (X) η_{m v} .

$\eta_{\mu\nu}\rightarrow g'_{\mu\nu}=\Lambda^2(x)\eta_{\mu\nu}.$

Una transformación conforme especial (SCF) toma la siguiente forma:

\begin{matrix} (4.15d) & X^{' m} = \frac{X^{m} - b^{m} X^{2}}{1 - 2 b \cdot X + b^{2} X^{2}} \end{matrix}

$x'^\mu=\frac{x^\mu-b^\mu x^2}{1-2b\cdot x+b^2 x^2}\tag{4.15d}$

aquí, vector $b^\mu$ parametriza SCF, y $x^2$ y $b\cdot x$ se definen usando $\eta_{\mu\nu}$ . Resulta que $\Lambda(x)$ es el denominador.

DE ACUERDO. Según la teoría del campo conforme de Di Francesco, se da una relación (ecuación (4.22)):

\begin{matrix} (4.22) & | X_{i}^{'} - X_{j}^{'} | = \frac{| X_{i} - X_{j} |}{\sqrt{Λ (X_{i}) Λ (X_{j})}} . \end{matrix}

$|x'_i-x'_j|=\frac{|x_i-x_j|}{\sqrt{\Lambda(x_i)\Lambda(x_j)}}. \tag{4.22}$

Aquí, $x_i,x_j$ representa colectivamente las coordenadas de dos puntos arbitrarios en el sistema de coordenadas original. Eso es, $x_i=(x_i^1, x_i^2, ...)$ . Y $x'_i,x'_j$ son coordenadas relacionadas con $x_i,x_j$ a través de la SCF. ${|x_i-x_j|}$ es aparentemente la distancia.

¡Los autores también llaman distancia a la LHS de la ecuación anterior! Pero la métrica transformada $g'_{\mu\nu}$ ya no es plano. Entonces, la distancia entre cualquier par de puntos finitamente separados no está bien definida, a menos que se especifique una ruta de un punto al otro. Entonces, ¿cómo entender esta distancia (la LHS)?

Valter Moretti

La distancia entre dos puntos se define en toda variedad de Riemann conexa, no es más que la

inf

$\inf$ de la longitud de las curvas que unen los dos puntos considerados. Así que tiene sentido referirse a la métrica

g_{μ ν}^{'}

$g'_{\mu\nu}$ , también. Sin embargo, no sé si esta distancia coincide con el lado derecho de la identidad que citaste. Creo que sí, ya que existe como máximo una métrica que da lugar a una distancia al cuadrado dada y es evidente que el lado derecho de la identidad reproduce

g_{μ ν}^{'}

$g'_{\mu\nu}$ para

x_{i}

$x_i$ y

x_{j}

$x_j$ suficientemente cerca uno del otro.

marqués de drake

@ValterMoretti Con suerte, el

inf

$\inf$ coincide con el LHS. Desafortunadamente, las ecuaciones geodésicas son realmente complicadas y difíciles de resolver...

Respuestas (1)

¿Cómo definir la distancia entre dos puntos en un espacio transformado conforme?

La distancia entre dos puntos se define en toda variedad de Riemann conexa, no es más que la $\inf$ de la longitud de las curvas que unen los dos puntos considerados. Así que tiene sentido referirse a la métrica $g'_{\mu\nu}$ , también. Sin embargo, no sé si esta distancia coincide con el lado derecho de la identidad que citaste. Creo que sí, ya que existe como máximo una métrica que da lugar a una distancia al cuadrado dada y es evidente que el lado derecho de la identidad reproduce $g'_{\mu\nu}$ para $x_i$ y $x_j$ suficientemente cerca uno del otro.
@ValterMoretti Con suerte, el $\inf$ coincide con el LHS. Desafortunadamente, las ecuaciones geodésicas son realmente complicadas y difíciles de resolver...

qmecanico · Answer 1

Comentarios a la publicación (v2):

Árbitro. 1 está considerando el $d$ espacio euclidiano real bidimensional $(\mathbb{R}^d,|\cdot|^2)$ con la norma estándar
$\begin{matrix} (A) & | X |^{2} := \sum_{m = 1}^{d} (X^{m})^{2} = \sum_{m, v = 1}^{d} X^{m} η_{m v} X^{v}, η_{m v} = d i a gramo (1, \dots, 1), \end{matrix}$ $|x|^2~:=~\sum_{\mu=1}^d (x^{\mu})^2~=~\sum_{\mu,\nu=1}^d x^{\mu}\eta_{\mu\nu}x^{\nu}, \qquad \eta_{\mu\nu} ~=~{\rm diag}(1,\ldots, 1),\tag{A}$ y producto interior $\begin{matrix} (B) & ⟨ X, y ⟩ := \sum_{m, v = 1}^{d} X^{m} η_{m v} y^{v} . \end{matrix}$ $\langle x ,y\rangle~:=~\sum_{\mu,\nu=1}^d x^{\mu}\eta_{\mu\nu}y^{\nu} .\tag{B}$
Destacamos que la métrica es fija y la misma, inducida a partir de la norma estándar (A). (Sin embargo, como siempre, toma diferentes formas explícitas en varios sistemas de coordenadas diferentes).
De la SCT (4.15d), se sigue que
$\begin{matrix} (C) & | X^{'} |^{2} = \frac{| X |^{2}}{Λ (X)^{2}} . \end{matrix}$ $|x^{\prime}|^2~=~\frac{|x|^2}{\Lambda(x)^2}. \tag{C}$ Junto con un cálculo similar del producto interno $\langle x^{\prime} ,y^{\prime}\rangle$ , es posible derivar la ec. (4.22): $\begin{matrix} (4.22) & | X^{'} - y^{'} |^{2} = \frac{| X - y |^{2}}{Λ (X) Λ (y)} . \end{matrix}$ $|x^{\prime}-y^{\prime}|^2~=~\frac{|x-y|^2}{\Lambda(x)\Lambda(y)}. \tag{4.22}$
De la ec. (4.22) se sigue directamente que el SCT (4.15d) es un mapa conforme

\begin{matrix} (D) & d s^{' 2} = \frac{d s^{2}}{Λ (X)^{2}} . \end{matrix}

$ds^{\prime 2}~=~\frac{ds^2}{\Lambda(x)^2}. \tag{D}$

Referencias:

P. Di Francesco, P. Mathieu y D. Senechal, CFT, 1997.

Gracias por editar mi publicación. Con respecto a su punto 3, mi pregunta es en realidad si este símbolo $|x'_i-x'_j|$ representa la distancia medida usando la nueva métrica $g'_{\mu\nu}$ . Si es así, cómo probar la relación (4.22). Me parece que es dificil.
Con respecto a su nuevo punto 3, la relación (C) es fácil de verificar, pero ¿cuál es el producto interno? $\langle x',y'\rangle$ ?
Me das el producto interno en el sistema de coordenadas original, pero no el transformado. Quieres decir $\langle x',y'\rangle=x'^\mu\eta_{\mu\nu}x'^\nu$ , en lugar de $\langle x',y'\rangle=x'^\mu g'_{\mu\nu}x'^\nu$ , por tu punto 2? (La segunda expresión está, por supuesto, mal definida)
Excelente. Parece que deberíamos pensar la transformación conforme como una transformación activa, en lugar de pasiva.
Creo que (C) está equivocado. Por coherencia con (4.22), la potencia de $\Lambda(x)$ debiera ser $-1$ .

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