Invariancia conforme clásica

Voy a responder a esto como un teórico de campo no conforme, pero he estado pensando un poco en estas cosas últimamente. Pero creo que puedo responder a la más simple de sus preguntas: estoy seguro de que un experto aclarará lo siguiente si hay errores.

"Entonces, una transformación de coordenadas que actúa sobre la métrica como una transformación de Weyl es una transformación conforme". Ahora no entiendo qué significa esta última parte.

Es simplemente una definición. Pero probablemente esa no sea una respuesta muy satisfactoria para ti: quieres motivación para esta definición; Creo que esto viene como una respuesta a su pregunta:

¿Estamos simplemente haciendo rotaciones?

Tienes casi razón: lo cierto es que localmente la transformación conserva todos los ángulos; esto significa que todos los productos internos de vectores en el espacio tangente en cualquier punto a la variedad se transforman por$\langle X,\,Y\rangle \mapsto \Omega\langle X,\,Y\rangle$dónde$\Omega$es una constante de escala real que en general depende de la posición en la variedad pero no de los vectores$X$y$Y$($\Omega$es fijo para un espacio tangente dado). Un enunciado equivalente es que$\frac{\langle X,\,Y\rangle}{\|X\|\,\|Y\|}$se deja invariante en cada espacio tangente. A su vez, esto es equivalente a la afirmación de que los vectores tangentes a la variedad se transforman mediante transformaciones de Lorentz propias multiplicadas por un factor de escala real dependiente de la posición$\sqrt{\Omega}$. En un lenguaje más formal, el impulso de la transformación vive en$(\mathbb{R}^+,*)\times SO(1,\,3)$en todos los puntos de la variedad (a veces podríamos restringir estas declaraciones a un subconjunto abierto de la variedad).

La situación es totalmente análoga a una función holomorfa. Una forma de enunciar las relaciones de Cauchy-Riemann es la siguiente: "el avance de una transformación conforme en$\mathbb{C}$vive en$(\mathbb{R}^+,*)\times SO(2)$en todos los puntos de conformidad", es decir , si la función holomorfa se escribe como$(x,\,y)\mapsto (u,\,v)$con$x,\,y,\,u,\,v\in\mathbb{R}$entonces la matriz:

es un múltiplo escalar de una matriz de rotación (aquí el factor de escala$\sqrt{\Omega}=\sqrt{\alpha^2+\beta^2}$y$\tan\theta = \beta/\alpha$) (si no lo ha hecho antes, compruebe que las relaciones de Cauchy-Riemann son equivalentes a (1)). Entonces la transformación local es una rotación compuesta con una dilatación uniforme (o al revés; claramente conmutan).

Su situación es simplemente la anterior con la noción de "matriz de rotación en$SO(2)$"reemplazado por" (propia) isometría de Lorentz en$SO(1,\,3)$", siendo cada una de ellas isometrías propias y homogéneas del espacio tangente en cuestión.

Parece que lo anterior no estaba del todo claro: en lugar de volver a escribir la respuesta, estoy capturando una conversación entre el usuario ACuriousMind y yo que ilustra mi falta de claridad y la respuesta que di para tratar de enmendar y aclarar mi descripción.

ACuriousMind dice:

No. Mientras que el grupo de Lorentz es parte del grupo conforme en 4D (con firma (1,3)), el grupo de transformaciones conformes es más grande: también tiene dilataciones (el factor de escala), pero también "transformaciones conformes especiales". El grupo de transformaciones conformes en 2D es de hecho de dimensión infinita (su álgebra es el álgebra de Witt). Las transformaciones conformes son más que rotaciones o transformaciones de Lorentz (¡de lo contrario serían bastante aburridas!), de hecho, el álgebra conforme en$d>2$con firma$(p,q)$es isomorfo a$so(p+1,q+1)$.

Lo cual respondí de la siguiente manera.

¿Estás hablando globalmente? Porque aquí estoy hablando del avance de la transformación: de modo que (en 2D), sí, el álgebra de campos vectoriales que se exponen a, por ejemplo, curvas de nivel de$Re$y$Im$de funciones meromórficas es de hecho infinitamente dimensional, pero localmente una transformación conforme es una isometría y dilatación. Soy muy consciente de que el grupo de transformaciones conformes globales de$\mathbb{R}^{p+q}$es más grande que el grupo de isometrías globales compuesto por dilataciones (pero, sorprendentemente, no mucho más grande cuando$p+q>2$, como ustedes saben).

Y esto pareció aclarar la confusión que había causado cuando ACuriousMind responde:

Ah, entendí mal lo que querías decir con "localmente": al leerlo de nuevo, es claro y correcto.

¡Espero que la situación ahora sea más clara para otros lectores!