soluciones de campo para la derivada covariante del campo vectorial restringida a cero

Question

soluciones de campo para la derivada covariante del campo vectorial restringida a cero

Física
campos vectoriales
geometría diferencial
ecuaciones diferenciales

estudiante4life

Pregunta:

¿Qué significan las soluciones de $\nabla_\mu A^\nu = 0$ ¿parece?
¿Y es posible que la curvatura del espacio-tiempo restrinja de alguna manera la solución a $A^\nu = 0$ ?

Aquí está mi comprensión y pensamientos actuales.

Si un campo escalar tuviera una restricción en forma de ecuación diferencial parcial:

\partial_{m} ϕ = 0

$\partial_\mu \phi = 0$

Entonces la única solución es $\phi$ es constante

Para una derivada covariante en su lugar:

\nabla_{m} ϕ = 0

$\nabla_\mu \phi = 0$

La solución es la misma, ya que para un campo escalar la derivada covariante es simplemente la derivada parcial ordinaria.

Ahora, ¿qué pasa con un campo vectorial?

¿Qué podemos concluir exactamente acerca de un campo vectorial si su derivada covariante es cero en todas partes?

Para un campo vectorial:

\partial_{m} A^{v} = 0

$\partial_\mu A^\nu = 0$

significa que cada componente es constante. Pero con una derivada covariante:

\nabla_{m} A^{v} = \partial_{m} A^{v} + Γ^{v}_{m λ} A^{λ}

$\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda$

Así que una constante distinta de cero $A^\nu$ no funcionará cuando los símbolos de Christoffel sean distintos de cero.

Dado que (la regla del producto se cumple, ¿verdad?):

\nabla_{m} A_{v} A^{v} = \nabla_{m} {gramo}_{λ v} A^{λ} A^{v} = A^{λ} A^{v} \nabla_{m} {gramo}_{λ v} + 2 {gramo}_{λ v} A^{λ} \nabla_{m} A^{v} = A^{λ} A^{v} \nabla_{m} {gramo}_{λ v}

$\nabla_\mu A_\nu A^\nu = \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} A^\lambda A^\nu = A^\lambda A^\nu \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu} + 2 g_{\lambda\nu} A^\lambda \nabla_\mu A^\nu = A^\lambda A^\nu \nabla_\mu \ g_{\lambda\nu}$

Asumiendo el caso simple de una conexión métrica compatible, eso significa:

\nabla_{m} A_{v} A^{v} = 0

$\nabla_\mu A_\nu A^\nu = 0$

Y desde $A_\nu A^\nu$ es un escalar, entonces la magnitud de $A^\nu$ debe ser constante.

Tengo problemas para visualizar estas soluciones.

Si el espacio-tiempo es plano, entonces puedo elegir un sistema de coordenadas donde los símbolos de Christoffel sean cero en todas partes y, por lo tanto, los componentes $A^\nu$ son todos constantes.

Para el espacio-tiempo curvo, pude ver que había problemas como con el teorema de la bola peluda, de modo que no hay forma de tener $A^\nu$ con una magnitud constante en todas partes y también distinta de cero sin incurrir en contradicciones. Por lo tanto, parece plausible que la derivada covariante sea cero en realidad podría ser mucho más restrictiva y hacer que la única solución genérica sea que el campo mismo sea cero.

Con el espacio-tiempo curvo, si elijo un parche de coordenadas en una pequeña región tal que $A^\nu$ está siempre en la dirección z, y escala las coordenadas de tal manera que el componente $g_{33}$ es constante en este parche, entonces el requisito de que la magnitud de A sea constante significa la derivada parcial de los componentes $A^\nu$ es cero Pero eso a su vez significa

\nabla_{m} A^{v} = \partial_{m} A^{v} + Γ^{v}_{m λ} A^{λ} = Γ^{v}_{m λ} A^{λ} = 0 ⟹ Γ^{v}_{m 3} = 0 o r A^{λ} = 0

$\nabla_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda = \Gamma^\nu{}_{\mu\lambda} A^\lambda = 0 \quad \implies \quad \Gamma^\nu{}_{\mu 3} = 0 \ \ \mathrm{or} \ \ A^\lambda = 0$

No me parece que la escala de las coordenadas para hacer $g_{33}$ constante, causaría esto. Entonces, esto parece ser una condición derivada de la geometría o un requisito que $A^\nu=0$ .

Entonces, ¿el espacio-tiempo plano es de alguna manera muy especial aquí? es la única solución $A^\nu=0$ a excepción de algunas geometrías de espacio-tiempo muy especiales? ¿Cómo son estas soluciones y geometrías especiales?

usuario10851

Interesante pregunta. Bien

\nabla_{μ} A_{ν}

$\nabla_\mu A_\nu$ está a la mitad del lado izquierdo de la ecuación de Killing, por lo que cualquier solución es trivialmente campos de Killing. También parece un tensor que aparece en algunas formas de la ecuación de desviación geodésica. Y si

n

$n$ es geodésico y se toma como el campo vectorial unitario normal de una familia de hipersuperficies, entonces

\nabla_{μ} n_{ν}

$\nabla_\mu n_\nu$ comprenden las segundas formas fundamentales de esas superficies. Ojalá pudiera decir algo más definitivo.

Respuestas (1)

soluciones de campo para la derivada covariante del campo vectorial restringida a cero

Interesante pregunta. Bien $\nabla_\mu A_\nu$ está a la mitad del lado izquierdo de la ecuación de Killing, por lo que cualquier solución es trivialmente campos de Killing. También parece un tensor que aparece en algunas formas de la ecuación de desviación geodésica. Y si $n$ es geodésico y se toma como el campo vectorial unitario normal de una familia de hipersuperficies, entonces $\nabla_\mu n_\nu$ comprenden las segundas formas fundamentales de esas superficies. Ojalá pudiera decir algo más definitivo.

Asperanz · Answer 1

Básicamente, tiene la idea correcta: la existencia de un campo vectorial covariantemente constante es una gran restricción en la métrica.

Ya lo descubriste $A^a$ tiene norma constante. Lo siguiente que encontramos es que $A^a$ es un vector Killing, porque obviamente

\nabla_{(a} A_{b)} = 0.

$\nabla_{(a}A_{b)}=0.$ Además,

A^{a}

$A^a$ es geodésico,

A^{a} \nabla_{a} A^{b} = 0

$A^a\nabla_a A^b=0$ , e hipersuperficie ortogonal, ya que la condición de integrabilidad de Frobenius es

A_{[a} \nabla_{b} A_{c]} = 0

$A_{[a}\nabla_b A_{c]}=0$ .

Esto significa que podemos escribir

A_{a} = norte \nabla_{a} Z

$A_a=N \nabla_a Z$ para algunas funciones escalares

N

$N$ y

Z

$Z$ . De hecho,

N

$N$ en realidad debe ser una función de

Z

$Z$ . Una forma de ver esto es desde

\nabla_{[a} A_{b]} = \nabla_{[a} norte \nabla_{b]} Z = 0

$\nabla_{[a}A_{b]}=\nabla_{[a}N \nabla_{b]}Z=0$ lo que implica que los gradientes

\nabla_{a} N

$\nabla_a N$ y

\nabla_{a} Z

$\nabla_aZ$ son linealmente dependientes. Entonces, al redefinir

Z \mapsto Z^{'} (Z)

$Z\mapsto Z'(Z)$ , podemos escribir

A_{a} = \nabla_{a} Z^{'}

$A_a=\nabla_a Z'$ , es decir, deshacerse de la

N

$N$ .

Ahora, podemos usar $Z'$ como una coordenada, y elija las otras coordenadas para que el $A^\alpha\propto\delta^\alpha_{Z'}$ , con una constante "constante de proporcionalidad". Entonces desde $A^a$ es un vector Killing, los componentes métricos en este sistema de coordenadas deben ser independientes de $Z'$ . Además, hemos elegido coordenadas tales que $g_{Z' \beta} = 0$ para $\beta\neq Z'$ .

Luego puede ver que obtenemos una métrica para una variedad que es plana a lo largo de la dirección de $A^a$ . Entonces la variedad debe ser localmente de la forma $\mathbb{R}\times M$ o $S^1\times M$ (en general podría tener la estructura de un $U(1)$ o $\mathbb{R}$ haz de fibras, que puede tener una topología no trivial). El elemento de línea es entonces

d s^{2} = C d {Z^{'}}^{2} + h_{i j} d X^{i} d X^{j},

$ds^2=Cd{Z'}^2 + h_{ij} dx^i dx^j,$ dónde

C

$C$ es una constante y la métrica transversal

h_{i j}

$h_{ij}$ en

M

$M$ es independiente de

Z^{'}

$Z'$ . Entonces, de hecho, encontramos algunas restricciones muy no triviales en la métrica siempre que haya un vector covariantemente constante distinto de cero

A^{a}

$A^a$ .

En este contexto, ¿qué significa " $A^a$ Qué significa geodésica? Que si comenzamos en cualquier lugar y seguimos en la dirección del campo con una velocidad dada por su magnitud, que define una geodésica?
No estoy siguiendo algunos de los pasos. ¿Cómo puedo ver que la solución a $(A_{[a}\nabla_bA_{c]} = 0) \quad \implies (A_a = N \nabla_a Z)$ ? Habría asumido ingenuamente la $N$ no era necesario Y $\nabla_{[a}N\nabla_{b]}Z = (\nabla_{[a}N)(\nabla_{b]}Z) + N(\nabla_{[a}\nabla_{b]}Z) = 0$ , ¿bien? Tengo problemas para ver cómo eso implica que el gradiente de N y Z son independientes, y ¿no querríamos que fueran dependientes si vamos a afirmar que N puede escribirse como una función de Z? ¿Puedes ampliar un poco esto?
@Student4life Primero, correcto $A^a$ ser geodésico significa que es el vector tangente de alguna curva geodésica.
@Student4life La declaración de que $A_{[a}\nabla_bA_{c]}=0\implies A_a = N \nabla_a Z$ es básicamente una formulación del teorema de Frobenius, que es un resultado estándar en geometría diferencial, pero no estoy seguro de si es fácil de demostrar. En general, la función $N$ es necesario porque encontramos que $A_a$ tiene una norma fija, pero no hay razón para el gradiente $\nabla_a Z$ tener una norma fija, entonces $N$ básicamente proporciona la normalización adecuada.
@ Student4life Tenga en cuenta para su próxima pregunta que los derivados covariantes conmutan cuando actúan sobre escalares (eso es bastante fácil de probar, así que pruébelo). También sí, dije que implica que los gradientes son linealmente dependientes y, por lo tanto, N es una función de Z.

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estudiante4life

usuario10851

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Asperanz

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Asperanz

Asperanz

Asperanz

En los campos de símbolos y vectores de Christoffel

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