Transformación conforme / escala de Weyl, ¿son dos cosas diferentes? ¡Confundido!

La transformación de Weyl y la transformación conforme son cosas completamente diferentes (aunque a menudo se discuten en contextos similares).

Una transformación de Weyl no es una transformación de coordenadas en el espacio o el espacio-tiempo. Es un cambio físico de la métrica,$g_{\mu\nu}(x)\to g_{\mu\nu}(x)\cdot \Omega(x)$. Es una transformación que cambia las distancias propias en cada punto por un factor y el factor puede depender del lugar, pero no de la dirección de la línea cuya distancia propia medimos (porque$\Omega$es un escalar).

Tenga en cuenta que una transformación de Weyl no es una simetría de las leyes habituales que conocemos, como la física atómica o el modelo estándar, porque las partículas están asociadas con una escala de longitud preferida, por lo que la física no es invariante de escala.

Por otro lado, las transformaciones conformes son un subconjunto de las transformaciones de coordenadas. Incluyen isometrías, las "simetrías" geométricas genuinas, como un subconjunto. Las isometrías son aquellas transformaciones de coordenadas$x\to x'$que tienen la propiedad de que el tensor métrico expresado como funciones de$x'$es lo mismo que el tensor métrico expresado como funciones de$x$. Las transformaciones conformes son casi lo mismo: pero solo se requiere que estos dos tensores sean funciones iguales hasta un cambio de escala de Weyl.

Por ejemplo, si tiene una métrica en el plano complejo,$ds^2=dz^* dz$, entonces cualquier función holomorfa, como$z\to 1/z$, es conformemente invariante porque se conservan los ángulos. Si eliges dos flechas infinitesimales$dz_1$y$dz_2$partiendo del mismo punto$z$y si transforma todos los extremos de las flechas a otro lugar a través de la transformación$z\to 1/z$, entonces el ángulo entre las flechas finales será el mismo. En consecuencia, la métrica en términos de$z'=1/z$todavía será dado por

$$ds^2 = dz^* dz = d(1/z^{\prime *}) d (1/z') = \frac{1}{(z^{\prime *}z')^2} dz^{\prime *} dz'$$ que es la misma métrica hasta la escala de Weyl por la fracción al principio. Es por eso que esta transformación holomorfa es conforme, conservando el ángulo. Pero una transformación conforme es una transformación de coordenadas, un difeomorfismo. La transformación de Weyl es otra cosa. Mantiene las coordenadas fijas pero cambia directamente los valores de algunos campos, especialmente el tensor métrico, en cada punto por un factor multiplicativo escalar.

Una transformación conforme es una transformación de espacio-tiempo que deja la métrica invariante a escala y, por lo tanto, conserva los ángulos. Una transformación de Weyl escala activamente la métrica.

Más formalmente:

Dejar$M, N$ser dos variedades con productos internos$g, h$y coordenadas$x=(x^i), y=(y^j)$respectivamente.

Un mapa$f:M\rightarrow N$se llama conforme si existe una función$\Omega\in\mathcal C^\infty(M)$para que el pullback se encuentre

$$f^*h=\Omega g$$ que se lee en coordenadas $$h_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x)$$ dónde $y=f(x)$.

En el caso de transformaciones conformes,$M=N$y$g=h$y por lo tanto

$$f^*g = \Omega g$$ que se lee en coordenadas $$g_{ij}(y)\frac{\partial y^i}{\partial x^r}\!(x)\frac{\partial y^j}{\partial x^s}\!(x) = \Omega(x)g_{rs}(x)$$ y parece una transformación de coordenadas $x\mapsto y$, pero es la expresión coordinada de una real (ver mi otra respuesta ).

En el caso de las transformaciones de Weyl, tenemos de nuevo$M=N$. Sin embargo, el mapa estará dado por$f=\mathrm{id}_M$flexible

$$h=\Omega g$$ con la expresión de coordenadas triviales $$h_{ij}(x)=\Omega(x)g_{ij}(x)$$ que no puede considerarse como una transformación de coordenadas ya que las coordenadas no cambian.

Transformación conforme son aquellas transformaciones de coordenadas activas (difeomorfismo)$\sigma^a \longrightarrow \sigma'^a=\sigma'^a(\sigma)$que cambian la métrica de la siguiente forma:

$$g'_{ab}(\sigma')\equiv\frac{\partial\sigma^c}{\partial\sigma'^a}\frac{\partial\sigma^d}{\partial\sigma'^b}g_{cd}(\sigma)=\Omega(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Entonces, una transformación conforme es en realidad una transformación de coordenadas activa (es decir, difeomorfismo) que escala la métrica por un factor dependiente de la posición.

Por otro lado, la transformación de Weyl no tiene nada que ver con la transformación de coordenadas. No actúa sobre coordenadas sino sobre tensor métrico:

$$\sigma^a\longrightarrow \sigma'^a(\sigma)=\sigma^a \\ g_{ab}(\sigma) \longrightarrow g'_{ab}(\sigma')=g'_{ab}(\sigma)=\Lambda(\sigma)g_{ab}(\sigma)$$

Entonces, una transformación de Weyl es una transformación que actúa sobre el tensor métrico, no sobre las coordenadas.

Esta es mi respuesta original, que, lamentablemente, se perdió el punto principal de la pregunta. Sin embargo, como invertí algo de tiempo para escribirlo y en realidad responde al menos parte de la pregunta, lo dejaré como está.

Esta es una falacia del enfoque práctico de la geometría diferencial utilizando únicamente expresiones de coordenadas y una de las razones por las que prefiero el enfoque geométrico abstracto.

Supongamos por simplicidad que nuestra variedad abstracta$M$permite sistemas de coordenadas globales

$$\begin{align} \varphi:M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x^\mu \end{align}$$ y $$\begin{align} \varphi':M&\rightarrow\mathbb R^n \\ p&\mapsto x'^\mu \end{align}$$ La transformación de coordenadas de coordenadas no imprimadas a imprimadas viene dada por $$\begin{align} \varphi'\circ\varphi^{-1}:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto x'^\mu \end{align}$$ Ahora bien, una transformación real sería un difeomorfismo $$\begin{align} f:M&\rightarrow M \\ p&\mapsto q \end{align}$$ que viene con una expresión coordinada $f^\varphi=\varphi\circ f\circ\varphi^{-1}$ $$\begin{align} f^\varphi:\mathbb R^n&\rightarrow\mathbb R^n \\ x^\mu&\mapsto y^\mu \end{align}$$ dónde $x^\mu=\varphi(p)$y $y^\mu=\varphi(q)$. A pesar de $f^\varphi$ se parece a cualquier otra transformación de coordenadas, permanecemos en el mismo sistema de coordenadas sin imprimar.

Una transformación de coordenadas no cambiará el valor de las expresiones escalares, por ejemplo, la contracción del tensor métrico con dos vectores para calcular su producto interno, por definición de las leyes de transformación para tensores.

Este no es el caso de las transformaciones reales: como no cambiamos los sistemas de coordenadas, los componentes del tensor métrico no se transformarán y, por lo tanto, no pueden equilibrar el cambio de coordenadas de los vectores.

Después de una transformación de coordenadas, todavía estamos calculando la misma cantidad similar al uso de un conjunto diferente de unidades, mientras que después de una transformación real, en realidad calcularemos una cantidad diferente a medida que evaluamos en diferentes puntos de la variedad, es decir, nos movemos en tiempo espacial.

Hay un apéndice (apéndice D) sobre transformaciones conformes en el libro de Wald sobre relatividad general. El primer párrafo de eso es relevante para su pregunta. Sin embargo, su terminología es diferente de la suya y por el término transformaciones conformes simplemente se refiere a las transformaciones de Weyl.

Por supuesto, el tensor métrico (o cualquier otro tensor) no cambiará de ninguna manera bajo las transformaciones de coordenadas. Sin embargo, si$M$es una multiplicidad y$f:M\rightarrow M$si es una función diferenciable entonces para cualquier campo tensor covariante$T$en$M$podemos definir un campo de tensor retrocedido correspondiente$f^*T$en$M$(Vea de nuevo el apéndice C de Wald para las definiciones). en particular si$g$es el tensor métrico, entonces podemos definir el tensor métrico retrocedido$f^*g$en$M$. Si$f$es un difeomorfismo y$g$entonces no es degenerado$f^*g$también será no degenerado, y tendrá la misma firma que la de$g$. También$f^*g$será en general diferente de$g$, es decir, retroceder debajo de un mapa es diferente de la transformación de coordenadas. (la diferencia es algo similar a las transformaciones de coordenadas "pasivas" y "activas", pero esta terminología podría ser muy confusa aquí).

Si$f$es un difeomorfismo tal que retiró la métrica$f^*g$es igual a$\Omega g$para alguna función positiva$\Omega$, entonces se llama isometría conforme. La teoría del campo conforme es, por definición, aquella cuyo grupo de simetría contiene un grupo de isometrías conformes (posiblemente solo "locales") como un subgrupo.