Función de Green sobre toro

Cuando ambos "espacio" ($x$) y tiempo" ($y$) las direcciones son periódicas, el laplaciano en toro con coordenada$z=x+iy$tiene un modo cero normalizado

$$\varphi_0(z) = \frac 1 {\sqrt{{\rm Im}(\tau)}}$$ (Aquí$\tau$es el parámetro modular que define el toro).

Como

$$-\nabla^2 \varphi_0=0.$$ el modo cero significa que el operador de Laplace no es 1-1 y, por lo tanto, evita que el laplaciano con condiciones de contorno periódicas tenga una inversa. Por lo tanto, no existe una función de Green real. En su lugar, por lo tanto, debemos recurrir a una función de Green modificada . Podemos hacer uso de una función theta con características definidas por $$\theta\left[ \matrix{a\cr b}\right] (z|\tau)= \sum_{m=-\infty}^\infty \exp\{i\pi \tau(m+a)^2 +2\pi i (m+a)(z+b)\}, \quad {\rm Im}(\tau)>0\quad a,b \in {\mathbb R}.$$

Observa eso

$$F(x,y) \equiv e^{-\pi y^2/ {\rm Im}(\tau)} \theta\left[ \matrix{\textstyle{\frac 12}\cr \textstyle{\frac 12}}\right] (z|\tau)$$ obedece $$F(x+1,y) =-F(x,y), \quad F(x+ {\rm Re}(\tau), y+{\rm Im}(\tau)) =({\rm phase}) F(x,y)$$ entonces $$G_0(x,y)) = -\frac{1}{2\pi} \ln |F| = -\frac{1}{2\pi} \ln\left| \theta\left[ \matrix{\textstyle{\frac 12}\cr \textstyle{\frac 12}}\right] (z|\tau)\right| + \frac 12 y^2 / {\rm Im}(\tau)\\ = -\frac 1{2\pi} \ln |E(z)| + \frac 12 y^2 / {\rm Im}(\tau)+const.$$ es a la vez periódico en el toro y obedece $$-\nabla^2 G_0(x,y) = \delta^2(x,y) - 1/{\rm Im}(\tau)\\ = \sum_n \varphi_n(z) \varphi^*_n(0)- \varphi_0(z)\varphi_0(0)$$ Aquí la suma es sobre todo$n$incluido$n=0$. El$\varphi_n(z)$,$n>0$son las funciones propias del Laplaciano con valores propios distintos de cero.

La función de Green modificada se puede utilizar para resolver

$$-\nabla^2 \phi= f(x,y)$$ como $$\phi(x,y) = \int_{\rm torus} G_0(x-x', y-y'))f(x',y') dx' dy'=0.$$ siempre que$f$es perpendicular al modo cero, es decir $$\int_{\rm torus} f(x,y) dx dy=0.$$

Esto es consistente con la alternativa de Fredholm para operadores lineales.

El término constante es necesario porque en una variedad compacta con condiciones de contorno periódicas hay un modo cero en el espectro del laplaciano. Esto es más fácil de ver en el círculo, donde$\frac{d^2}{dt^2}f = \lambda f$tiene la solución constante periódica$f(t) =c$. Esto hace que el operador no sea invertible.

En cambio, se debe trabajar en el espacio ortogonal a los modos cero. Veamos la descomposición espectral de la función de Green:

$$G(t, t') = \sum_\lambda u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') \times \lambda^{-1},$$ dónde$u_\lambda(t)$son las funciones propias del Operador. Tenga en cuenta que $$\nabla^2 G = \sum_\lambda u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') = \delta(t - t')$$ por completitud.

Ahora ves en la expresión de la función de Green por qué$\lambda = 0$sería problemático. Eliminamos esto de la suma para trabajar en el subespacio ortogonal a esta función, obteniendo

$$G'(t, t') = \sum_{\lambda \neq 0} u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') \times \lambda^{-1}$$ Después de lo cual obtenemos una ecuación de Green modificada $$\nabla^2 G = \sum_{\lambda \neq 0} u_\lambda^*(t) u_\lambda(t') = \delta(t - t') - u_0^*(t)u(t').$$ Este último término corresponde a la parte constante que está restando en el caso de las condiciones de contorno periódicas, porque vimos que las funciones propias cero son constantes. El factor de T es simplemente de alguna condición de normalización.

La otra forma de verlo es pensar en términos de electrostática. En una variedad compacta, la periodicidad es inconsistente con la función de Green que representa la respuesta a una carga puntual colocada en algún punto:

$$\int_{M} \delta(t, t') = \int_{M} \nabla^{2} G = \int_{\partial M}\nabla G \cdot dn = 0$$ ya que la función de Green será periódica. Sin embargo, el lado izquierdo no se integra a 0. Para solucionar esto, debemos agregar una "carga de fondo" negativa constante que modifica el LHS a$\int_{M}\delta(t, t') - |c|^{2}$con$c$elegido de modo que la integral se anule. En otras palabras, esta carga de fondo es necesaria para garantizar la compatibilidad con las condiciones de contorno periódicas.