pseudoinverso de una matriz diagonal de bloques cuadrados con matrices diagonales proyectadas en diagonal

Question

pseudoinverso de una matriz diagonal de bloques cuadrados con matrices diagonales proyectadas en diagonal

inverso
matrices
Matemáticas
ortogonalidad
álgebra lineal
matrices de proyección

usuario1767774

Considere la siguiente matriz de bloques diagonales:

(\begin{matrix} PAG Σ PAG & 0 \\ 0 & (I - PAG) Σ (I - PAG) \end{matrix})

$\begin{pmatrix} P \Sigma P & 0\\ 0 & (I-P) \Sigma (I-P) \end{pmatrix}$

Dónde $P$ es una matriz de proyección ortogonal, y $\Sigma$ es una matriz diagonal. Los elementos diagonales individuales $P \Sigma P$ y $(I-P) \Sigma (I-P)$ generalmente no son invertibles (a menos que P no reduzca el rango), sin embargo, toda la matriz parece ser invertible (validada numéricamente). ¿Hay una expresión simple para su inversa?

Actualización: @Carl_Schildkraut ha demostrado que la matriz no es invertible. ¿Hay una expresión simple para el pseudo inverso?

Masón

Si esta matriz es invertible, entonces ambos bloques diagonales son invertibles ya que los bloques representan restricciones de su matriz a un subespacio invariante.

Respuestas (1)

pseudoinverso de una matriz diagonal de bloques cuadrados con matrices diagonales proyectadas en diagonal

Si esta matriz es invertible, entonces ambos bloques diagonales son invertibles ya que los bloques representan restricciones de su matriz a un subespacio invariante.

Carl Schildkraut · Answer 1

Una matriz de bloques

(\begin{matrix} A & 0 \\ 0 & B \end{matrix})

$\begin{pmatrix}A&0\\0&B\end{pmatrix}$ con

A

$A$ y

B

$B$ cuadrado es invertible si y solo si

A

$A$ y

B

$B$ son invertibles; de lo contrario, el rango es menos que completo (alternativamente, su determinante es

det (A) det (B)

$\det(A)\det(B)$ , cual es

0

$0$ si uno de

A

$A$ o

B

$B$ no es invertible). su inversa es

(\begin{matrix} A^{- 1} & 0 \\ 0 & B^{- 1} \end{matrix}) .

$\begin{pmatrix}A^{-1}&0\\0&B^{-1}\end{pmatrix}.$ Sin embargo, en su ejemplo, es imposible que ambos componentes sean invertibles. Esto requeriría ambos

P

$P$ y

I - P

$I-P$ ser invertible, lo que significa que

P

$P$ no puede tener un valor propio de

0

$0$ o

1

$1$ . Sin embargo, ¡estos son los únicos valores propios posibles de una matriz de proyección!

¡Gracias! Como alternativa, ¿existe una expresión simplificada para el pseudoinverso?
@ user1767774 Lamentablemente, no estoy tan familiarizado con los pseudoinversos, así que no estoy seguro. Mi primera suposición sería que $P\Sigma^{-1}P$ puede hacer el truco (para la matriz de bloques superior izquierda; para la parte inferior derecha sería lo mismo con $P$ reemplazado por $I-P$ ), pero tengo problemas para verificar las condiciones necesarias. (Actualización: no es correcto).

pseudoinverso de una matriz diagonal de bloques cuadrados con matrices diagonales proyectadas en diagonal

usuario1767774

Masón

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Carl Schildkraut

usuario1767774

Carl Schildkraut

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