¿Todas las rotaciones de Givens son transformaciones lineales?

He leído que las rotaciones de Givens son transformaciones lineales, pero como sabemos, las transformaciones lineales conservan la longitud del vector transformado. Sin embargo, cuando probé esto con una matriz de rotación de Givens tridimensional G (1,2,45 °), parece que la longitud del vector transformado cambia, y cuando lo introduzco en un gráfico 3D, la transformación se parece a una proyección en planta.

¿Eso es normal?

Las transformaciones lineales no necesariamente preservan la longitud del vector
¿Dónde leíste que las transformaciones lineales conservan la longitud del vector? Considere el mapa lineal v → ↦ 2 v → que duplica la longitud del vector. ¿Quizás confundes transformaciones lineales con transformaciones rígidas?
Las transformaciones ortogonales conservan la longitud del vector (y los ángulos)
X → 2 X es lineal, pero por supuesto generalmente no conserva la longitud.
sí, lo siento, la transformación lineal no preserva la longitud del vector todo el tiempo. ¿Pero la rotación dada lo preserva?

Respuestas (1)

¡Bienvenido aquí Saad!

Primer punto: las transformaciones lineales no necesariamente conservan la longitud. Tomemos por ejemplo el mapa A ( X , y , z ) = ( 3 X , 3 y , 3 z ) : ¡la longitud del resultado es tres veces la longitud original!

Segundo punto: afortunadamente, las rotaciones conservan la longitud, por lo que debería haber algún problema con su matriz GRAMO ( 1 , 2 , 45 ° ) . ¿Cómo se define? Si se supone que es la rotación alrededor del eje z de 45°, debería ser

( 2 / 2 2 / 2 0 − 2 / 2 2 / 2 0 0 0 1 )

OP está hablando de la rotación de Givens utilizada en álgebra lineal numérica ( en.wikipedia.org/wiki/Givens_rotation )
Parece que adiviné la forma por casualidad XD
@PrasunBiswas Las rotaciones de Givens siguen siendo rotaciones, solo tiene más dimensiones y una matriz que es la identidad, excepto en dos dimensiones.
Hola Andrea, lo que pasa con las rotaciones de Givens es que son rotaciones normales pero en lugar de rotar alrededor de un eje, el vector rota alrededor de un plano (básicamente dos vectores al mismo tiempo). Pero como se dijo, normalmente las rotaciones de Givens conservan la longitud del vector de transformación, pero en mi ejemplo no parece encajar. Me pregunto dónde me equivoqué. Gracias
En el caso tridimensional, cuando rotas el plano xy, esto es en realidad una rotación alrededor del eje z, lo que significa que este último está fijo. Escriba explícitamente la matriz que está utilizando y veremos dónde se equivoca.
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