Demuestre que la matriz de proyección tiene el mismo rango que la matriz de diseño. [cerrado]

Aquí hay un enfoque más directo.

obviamente tenemos$\text{Col}(P) \subseteq \text{Col}(A)$. Para probar la inclusión inversa, sea$y\in \text{Col}(A)$. Encontrar$x$de modo que$y=Ax$. Entonces

$$\begin{eqnarray*}Py&=&A(A^TA)^{-1}A^Ty \\&=&A(A^TA)^{-1}(A^TA)x \\ &= &Ax \\&=&y \\ &\in &\text{Col}(P)\end{eqnarray*}$$ Esta espectáculos$A$y$P$tenemos el mismo espacio de columna y hemos terminado.

Probemos que el espacio nulo izquierdo de$\mathrm{P}$es igual al espacio nulo izquierdo de$\mathrm{A}$, es decir$\mathrm{N\left(P^T\right) = N\left(A^T\right)}$. Habiendo hecho eso probaremos que sus complementos ortogonales, a saber$\mathbf{C(P)}$y$\mathbf{C(A)}$, son iguales .

Tenga en cuenta que$\mathrm{N\left(P^T\right) = N\left(P\right)}$, desde$\mathrm{P}$es simétrico También tenga en cuenta que$\mathrm {P = A\left(A^TA\right)^{-1}A^T}$.

1. $\mathrm{A^Tx = 0 \implies \text{multiply by } A\left(A^TA\right)^{-1} \implies A\left(A^TA\right)^{-1}A^Tx = 0 \implies N\left(A^T\right) \subseteq N\left(P^T\right)}$.

2. $\mathrm {A\left(A^TA\right)^{-1}A^Tx = 0 \implies \text{multiply by } A^T \implies A^Tx = 0 \implies N\left(P^T\right) \subseteq N\left(A^T\right)}$.

3. $\mathrm {N\left(P^T\right) = N\left(A^T\right)}$.

4. $\mathrm {C\left(P\right) = C\left(A\right)}$.

5. $\mathrm{rank\left(P\right) = rank\left(A\right)}\ \square$.

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En el paso 2 cuando multiplicamos$\mathrm {A\left(A^TA\right)^{-1}A^Tx = 0}$por$\mathrm {A^T}$a la izquierda tenemos$\mathrm {\underbrace{{\color{red}{A^TA}}{\color{blue}{\left(A^TA\right)^{-1}}}}_{\text{Identity matrix}}A^Tx = 0}$.