Transpuesta de una matriz y el producto AA⊤AA⊤AA^\top

Con respecto a la transposición: primero, una advertencia: en la práctica, la transposición rara vez se considera de una manera "geométrica". En su lugar, lo consideramos en términos de su propiedad definitoria, lo que significa que para todos los vectores$x$y$y$del tamaño correcto, el producto escalar$(Ax)^Ty$es lo mismo que$x^T(A^Ty)$. De manera equivalente, si convertimos el mapeo$x^T \mapsto x^TA$en vectores de fila en un mapa en vectores de columna, terminamos con el mapa$x \mapsto Ax$. De manera más abstracta, podríamos pensar en la transpuesta en términos de su relación con el adjunto en el espacio dual asociado con el mapa lineal$T: V \to W$. En otras palabras, la intuición para la transposición tiende a no provenir de "cómo se ve la transformación", sino de "cómo encaja la transformación con otras cosas (es decir, vectores, covectores y otras transformaciones)".

Dicho esto: si está buscando una idea geométrica de lo que hace la transposición, la mejor manera de obtenerla es a través de la descomposición polar (nota: el artículo vinculado trata sobre matrices con entradas complejas, pero me centraré en matrices con entradas reales). Toda transformación se puede escribir en la forma$A = PU$, dónde$P$es una matriz semidefinida positiva , y$U$es una matriz ortogonal . Eso es,$A$se puede descomponer en una rotación/reflexión (codificado por$U$), seguido de un estiramiento/aplastamiento a lo largo de ejes perpendiculares (codificado por$P$). La transpuesta viene dada por

Acerca de$AA^T$: Resulta que la matriz$P$de la descomposición polar$A = PU$discutido anteriormente está dada por$P = \sqrt{AA^T}$. Además,$AA^T$es en sí misma una matriz semidefinida positiva. Lo que podríamos decir de la idea geométrica detrás$AA^T$, entonces, es que lo que sacamos de todo esto es que$A^TA$codifica todo el estiramiento/aplastamiento que$A$hace.