Matemáticamente, ¿qué es la carga de color?

La carga de color es la representación del grupo de indicadores SU(3). La teoría de la representación de SU(3) se describe a continuación:

La representación básica se llama el "3" o la representación fundamental o definitoria. es un triplete de numeros complejos$V^i$, que se transforman bajo una matriz SU(3) de 3 por 3 al multiplicarse por la matriz. El valor de "i" a veces se denomina "rojo", "verde", "azul", por lo que un quark que está todo en el$V^1$la dirección es roja, etc. Esto es razonable, porque cada vector de representación fundamental es una combinación lineal con coeficiente complejo de rojo-verde-azul.

Hermann Weyl demostró que cualquier otra representación ocurre en algún lugar entre los tensores:$V^{i_1,i_2 .. i_n}_{j_1,j_2,...,j_m}$donde los índices superiores se transforman al multiplicar el índice por la matriz SU(3), y los índices inferiores al multiplicar por la matriz conjugada, que también es la inversa. La suma de representaciones es como la suma del momento angular en la mecánica cuántica, tomando productos tensoriales.

Calentamiento: Representaciones rápidas SU(2)

Para SU(2), los tensores invariantes son$\delta^i_j$,$\epsilon_{ij}$, y$\epsilon^{ij}$, que son la traza y el volumen bidimensional. Puede subir y bajar índices usando$\epsilon$tensores, por lo que cada representación de tensor es equivalente a una con todos los índices hacia abajo. Tres índices antisimétricos cualesquiera son necesariamente cero, y dos índices antisimétricos cualesquiera pueden eliminarse contrayéndolos con el tensor épsilon adecuado. Entonces, solo hay grupos de índices simétricos en una representación.

Las representaciones irreducibles se agotan por los tensores completamente simétricos con todos los índices hacia abajo:

$$T_{i_1, i_2 , .... i_n}$$

Porque cuando multiplicas dos de estos, obtienes un tensor

$$T_{i_1, i_2,....,i_n;j_1, j_2, ... j_n'}$$

con simetría al permutar los primeros n índices y los últimos n' índices. Escribiré esto como (n,n'). Al contratar el$\epsilon$tensor en una de las i y una de las j (todas dan el mismo resultado porque son simétricas), extrae una representación (n-1, n'-1) de esto. El resto es completamente simétrico en n+n' índices, porque ha eliminado la parte antisimétrica. El resultado es la descomposición.

$$(n,n') = (n+n') + (n-1,n'-1)$$

De modo que, recursivamente, el producto tensorial de (n) y (n') se descompone en

$$(n+n'), (n+n'-2), (n+n'-4), ... (1) or (0)$$

donde el último término es 1 si n+n' es impar, o 1 si n+n' es par. Si reconoce que el tensor totalmente simétrico de índice n con dos valores posibles para cada índice tiene exactamente n+1 componentes diferentes, se da cuenta de que la representación (n) es solo la representación de espín (n/2), y la descomposición anterior es la conocida serie de Clebsch-Gordon para la suma del momento angular cuántico.

El método tensorial nunca se enseña por alguna razón, pero es la forma más rápida de hacer descomposiciones de Clebsch-Gordon en la vida real.

Volver a SU(3)

Las transformaciones SU(3) preservan los productos internos y los volúmenes complejos tridimensionales, por lo que hay tres tensores invariantes básicos,$\delta^i_j$,$\epsilon_{ijk}$, y$\epsilon^{ijk}$. los$\epsilon$Los tensores le permiten tomar la parte antisimétrica de dos índices superiores cualquiera y convertirla en un índice inferior, o la parte asimétrica de dos índices inferiores y convertirla en un índice superior.

Las representaciones irreducibles de SU(3) son todas tensores

$$T^{i_1,i_2,....,i_n}_{j_1,j_2,...,j_m}$$

que son totalmente simétricos en los índices superiores y totalmente simétricos en los índices inferiores. Para ver esto, llame a esta representación (n; m), y tensor dos de esas representaciones para producir

$$(n,n';m,m')$$

Lo que significa n índices superiores totalmente simétricos seguidos de n' índices superiores totalmente simétricos, ym índices inferiores totalmente simétricos seguidos de m' índices inferiores totalmente simétricos.

Entonces, actuando el tensor épsilon entre el grupo n y n' produce

$$(n,n'; 1,m,m')$$

dejando atrás$(n+n';m,m')$, ya que le quita la parte antisimétrica. La regla recursiva es la siguiente

$$(n_1,...,n_k; m_1,,...,m_k) \rightarrow$$ $$(n_1+n_2,n_3,...,n_k;m_1,...,m_k) \oplus (n_1-1,n_2-1,n_3,...n_k; 1, m_1, ...,m_k)$$

$$(n_1,...,n_k; m_1,....,m_k) \rightarrow$$ $$(n1,...,n_k; m_1+m_2,m_3,...,m_k) \oplus (1,n_1,...,n_k;m_1-1,m_2-1,...,m_k)$$

Estas reglas corresponden a actuar con los dos tensores épsilon, y terminan en términos de la forma (n;m) en un número finito de pasos, porque cualquiera de las cosas en el lado derecho tiene un número menor de grupos o un número menor. suma de índices. Al descomponer las huellas de (n;m) se obtienen todas las representaciones irreducibles.

Eliminando las huellas

Después de reducir los tensores a (n;m), se deshace de todas las partes traza restando$\delta^i_j$veces un (n;m) tensor. Esto convierte cada (n,m) de la sección anterior en una serie de partes reducidas en trazas (nk;mk) que van desde k=0 hasta k=min(m,n). Estos tensores son las verdaderas representaciones irreducibles.

La carga de color se define como la representación de SU(3) del objeto coloreado. La representación está indexada por (n,m). La carga de color de una instancia del objeto real es una lista n de valores rgb-rgb-..rgb, donde el orden no importa, y una lista m de colores cmy-cmy...-cmy, donde no importa el orden. Estos son los colores básicos, y los superpone con números complejos arbitrarios, pero imponiendo la condición de seguimiento, que es un poco difícil de establecer en el lenguaje RGB --- dice que la suma de (r,LIST;c,LIST) + (g,LISTA;m,LISTA') + (b,LISTA;y,LISTA') es cero para cualquier color en LISTA y LISTA'.

Para agregar dos cargas de color, utilice el procedimiento anterior para productos tensores. La suma de dos cargas de color es una mezcla complicada de cargas de color, dada por la descomposición de la representación tensorial.

Estas reglas son relativamente complicadas, así que agradezca que las únicas representaciones de color fundamentales en el mundo sean los tripletes fundamentales de quarks y los tensores sin rastro de gluones de índice uno arriba y uno abajo, y que todos los hadrones sean singuletes.