su(3)su(3)\mathfrak{su}(3) constantes de estructura

Los valores numéricos de los componentes de las constantes de estructura no solo se pueden "escribir". Pueden calcularse explícitamente a partir de la forma explícita de los generadores. Los valores a los que te refieres corresponden a una base particular que es la convención más extendida, las matrices de Gell-Mann:

https://en.wikipedia.org/wiki/Gell-Mann_matrices#Matrices

Son la base de todas las matrices hermitianas sin rastro de 3x3. Dos de ellos, el tercero y el octavo, se toman como diagonales. Las 6 restantes son matrices fuera de la diagonal que solo tienen$+1,+1$; o$+i,-i$en el$ij$- y$ji$-ubicación de la matriz. El orden es para que hagamos$ij=12,13,23$en este orden, y para cada valor de$ij$, primero escribimos la matriz con$1,1$y luego con$+i,-i$, con el$-i$encima de la diagonal.

Las primeras tres matrices de Gell-Mann son solo las tres matrices de Pauli para$SU(2)$. Luego, agregamos las cinco matrices restantes: de ellas, la última es la diagonal, hasta el signo general, es la única matriz diagonal que no tiene rastro y es ortogonal a todas las matrices anteriores (incluida y especialmente la diagonal, tercera matriz de Gell-Mann o de Pauli).

Todas las matrices de Gell-Mann están normalizadas para que la traza de su cuadrado sea igual a dos.

Si solo sustituyes$T^a = \lambda^a/2$para sus generadores, puede simplemente calcular todos los conmutadores e identificarlos como otra matriz de Gell-Mann.

Cualquier base del espacio de 8 dimensiones de$SU(3)$Los generadores contendrán "números aleatorios" o entradas de diferentes tipos. Por ejemplo, en un comentario, marmot mencionó que puede elegir la base del álgebra de Cartan y luego los estados propios correspondientes a algunas raíces, etc. En esta base, las constantes de estructura aún se verán algo aleatorias y tendrá que distinguir dos tipos de los índices$a,b,c=1,2,\dots 8$. Pero habrá una lógica más agradable en ellos que en la base de Gell-Mann.