Relación de estructura de color QCD [cerrado]

Quiero probar la siguiente relación:

$$\begin{equation} t^a t^b \otimes t^a t^b = \frac{2}{N_C} \delta^{ab} \mathbb{1} \otimes \mathbb{1} - \frac{1}{N_C} t^a \otimes t^a \end{equation}$$

En este momento calculé el segundo término, pero todavía tengo problemas para llegar al operador Casimir$C_F$del primer término.

Conocimiento$t^a = \frac{\lambda^a}{2}$y$\lambda^a\lambda^b = \frac{2}{N_C}\delta^{ab} + d^{abc}\lambda^c + i f^{abc}\lambda^c$rendimientos

$$\begin{equation} t^a t^b \otimes t^a t^b = \frac{1}{16}\lambda^a \lambda^b \otimes \lambda^a \lambda^b \end{equation}$$ $$\begin{equation} = \frac{1}{16} \left[ \frac{2}{N_C}\delta^{ab} + d^{abc}\lambda^c + i f^{abc}\lambda^c \right] \otimes \left[ \frac{2}{N_C}\delta^{ab} + d^{abc}\lambda^c + i f^{abc}\lambda^c \right] \end{equation}$$ Espero tener razón, eso $f^{aab} = d^{aab} = 0$, de este modo $$\begin{equation} = \frac{1}{16} \left[ \frac{4}{N_C^2} \delta^{ab} \mathbb{1} \otimes \mathbb{1} - \frac{4}{N} \lambda^c \otimes \lambda^c + i d^{abc}f^{abc} \lambda^c \otimes \lambda^c + i f^{abc} d^{abc} \lambda^c \otimes \lambda^c \right] \end{equation}$$ donde usé $f^{abc}f^{abc} = N$y $d^{abc}d^{abc} = \left( N - \frac{4}{N} \right)$.

El operador Casimir se define como

$$\begin{equation} \frac{N_C^2 -1}{2N_C} \equiv C_F \end{equation}$$

Y como dije no se como llegar al resultado de la primera ecuacion insertando el operador Casimir. Tengo la fuerte suposición de que si supiera cómo manejar los términos$i d^{abc}f^{abc} \lambda^c \otimes \lambda^c$el resultado sera obvio, pero hasta que sepas agradezco toda ayuda.