¿Cómo se representan los generadores de SU(3)SU(3)\mathrm{SU}(3) en el espacio de gluones?

El álgebra de Lie y la "representación adjunta" de un grupo de Lie son, casi por definición, lo mismo.

Cuando hablamos de "generadores", generalmente nos referimos a una base del álgebra de Lie, en este caso denotada por$\lambda^a, a\in\{1,2,\dots,8\}$. los índices$i,j$en$\lambda^a_{ij}$para las matrices de Gell-Mann van de 1 a 3 y$\lambda^a_{ij}$es simplemente el$ij$-ésima entrada en$\lambda^a$*en la representación fundamental de$\mathfrak{su}(3)$(es decir, en la representación como$3\times 3$-matrices). El quark se transforma en la representación fundamental por lo que el$\lambda^a$actúan sobre sus vectores de color 3d como multiplicación por estas matrices de Gell-Mann.

Como cualquier otro campo de calibre, el campo de gluones se transforma en el adjunto del grupo de calibre porque tiene un valor de álgebra de Lie. La representación adjunta se define por la acción del$\lambda^a$en cualquier otro$\lambda^b$como$[\lambda^a,\lambda^b]$, es decir, el mapa de representación viene dado por el corchete de mentira$\mathfrak{su}(3)\to\mathrm{End}(\mathfrak{su}(3)), \lambda^a \mapsto [\lambda^a,-]$. Dado que las constantes de estructura del álgebra de Lie se definen como$[\lambda^a,\lambda^b] = f^{ab}_c \lambda^c$(con la convención de suma en efecto), podemos escribir la acción de$\lambda^a$en otro$\lambda^b$tambien como$f^{ab}_c\lambda^c$, y así un "vector de gluones"$A_a\lambda^a$se transforma en$A_a f^{ab}_c \lambda^c$cuando actúa sobre$\lambda^b$. Por lo tanto, si desea escribir el$\lambda^b$como un$8\times 8$matriz, los componentes de esa matriz son solo las constantes de estructura$f^{ib}_j$!

Tenga en cuenta que el campo de gluones tiene un valor de álgebra de Lie , y no inherentemente "en la representación fundamental" como parece pensar. Cuando el campo de gluones se acopla a los quarks, actúa sobre ellos como las matrices de Gell-Mann porque los quarks están en la fundamental, pero en los acoplamientos gluón-gluón obtenemos las constantes de estructura/acción conjunta, porque un campo de gluones actúa sobre otro. campo de gluones por el corchete de mentira.