¿Cómo obtener el resultado 3⊗3=6⊕3¯3⊗3=6⊕3¯3 \otimes 3 = 6 \oplus \bar{3} para las representaciones irreducibles SU(3)SU(3)SU(3)?

Sección A: La conexión de las transformaciones de complejo$\:3\times 3\:$tensores antisimétricos y su complejo representativo$\:3$-vectores.

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Dejar$\:U\:$ser una transformación unitaria especial en$\:SU(3)\:$representado por el$\:3\times 3\:$matriz compleja

$$\begin{equation} U= \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} \end{bmatrix} \tag{A-01} \end{equation}$$ Desde $\:UU^{\boldsymbol{*}}=I\:$tenemos $\:U^{\boldsymbol{*}}=U^{-1}$, entonces $$\begin{equation} U^{\boldsymbol{*}}=\left(\overline{U}\right)^{\mathsf{T}}=\overline{U^{\mathsf{T}}} \begin{bmatrix} \overline{u}_{11} & \overline{u}_{21} & \overline{u}_{31} \\ \overline{u}_{12} & \overline{u}_{22} & \overline{u}_{32} \\ \overline{u}_{13} & \overline{u}_{23} & \overline{u}_{33} \end{bmatrix} = U^{-1} \tag{A-02} \end{equation}$$ dónde $\:\overline{u}\:$= el complejo conjugado de $\:u\:$y $\:U^{\mathsf{T}}\:$la matriz transpuesta de $\:U$. Por $\:\det\left(U\right)=1$tenemos $$\begin{equation} U^{-1}= \begin{bmatrix} (u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}) & (u_{13}u_{32}-u_{12}u_{33}) & (u_{12}u_{23}-u_{13}u_{22}) \\ (u_{23}u_{31}-u_{21}u_{33}) & (u_{11}u_{33}-u_{13}u_{31}) & (u_{13}u_{21}-u_{11}u_{23}) \\ (u_{21}u_{32}-u_{22}u_{31}) & (u_{12}u_{31}-u_{11}u_{32}) & (u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}) \end{bmatrix} \tag{A-03} \end{equation}$$

$$\begin{equation} U^{-1}= \begin{bmatrix} + \begin{vmatrix} u_{22} & u_{23}\\ u_{32} & u_{33} \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} u_{12} & u_{13}\\ u_{32} & u_{33} \end{vmatrix} & +\begin{vmatrix} u_{12} & u_{13}\\ u_{22} & u_{23} \end{vmatrix} \\ &&\\ - \begin{vmatrix} u_{21} & u_{23}\\ u_{31} & u_{33} \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} u_{11} & u_{13}\\ u_{31} & u_{33} \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} u_{11} & u_{13}\\ u_{21} & u_{23} \end{vmatrix} \\ &&\\ + \begin{vmatrix} u_{21} & u_{22}\\ u_{31} & u_{32} \end{vmatrix} & - \begin{vmatrix} u_{11} & u_{12}\\ u_{31} & u_{32} \end{vmatrix} & + \begin{vmatrix} u_{11} & u_{12}\\ u_{21} & u_{22} \end{vmatrix} \end{bmatrix} \tag{A-03$^{\prime}$} \end{equation}$$

Por las ecuaciones (A-02) y (A-03) el complejo conjugado de los elementos$\:U\:$se expresan en términos de los elementos mismos

$$\begin{equation} \begin{bmatrix} \overline{u}_{11} & \overline{u}_{21} & \overline{u}_{31} \\ \overline{u}_{12} & \overline{u}_{22} & \overline{u}_{32} \\ \overline{u}_{13} & \overline{u}_{23} & \overline{u}_{33} \end{bmatrix} \\= \begin{bmatrix} (u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}) & (u_{32}u_{13}-u_{33}u_{12}) & (u_{12}u_{23}-u_{13}u_{22}) \\ (u_{23}u_{31}-u_{21}u_{33}) & (u_{33}u_{11}-u_{31}u_{13}) & (u_{13}u_{21}-u_{11}u_{23}) \\ (u_{21}u_{32}-u_{22}u_{31}) & (u_{31}u_{12}-u_{32}u_{11}) & (u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}) \end{bmatrix} \tag{A-04} \end{equation}$$ eso es $\:\overline{u}_{11}=u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}\:$, $\:\overline{u}_{21}=u_{32}u_{13}-u_{33}u_{12}\:$... etc.

Ahora deja$\:\boldsymbol{\omega}=\left(\omega_{1},\omega_{2}, \omega_{3}\right)\:$un complejo$\:3$-vector en$\:\mathbb{C}^{3}\:$y$\:\mathrm{\Omega}\:$la matriz antisimétrica que representa la operación$\:\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\:$

$$\begin{equation} \mathrm{\Omega}= \begin{bmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{bmatrix} =\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times} \tag{A-05} \end{equation}$$ Suponer que $\:\boldsymbol{\omega}\:$se transforma en $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}\:$bajo una transformación unitaria especial $\:U \in SU(3)\:$
$$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=U\boldsymbol{\omega} \tag{A-06} \end{equation}$$ y $\:\mathrm{\Omega}^{\prime}\:$la matriz antisimétrica que representa la operación $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times}\:$ $$\begin{equation} \mathrm{\Omega}^{\prime}= \begin{bmatrix} 0 & -\omega^{\prime}_{3} & \omega^{\prime}_{2} \\ \omega^{\prime}_{3} & 0 & -\omega^{\prime}_{1} \\ -\omega^{\prime}_{2} & \omega^{\prime}_{1} & 0 \end{bmatrix} =\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times} \tag{A-07} \end{equation}$$ Determinaremos ahora la relación entre las matrices antisimétricas $\:\mathrm{\Omega}^{\prime}\:$y $\:\mathrm{\Omega}$. Para cualquier $\:\mathbf{z} \in \mathbb{C}^{3}\:$
$$\begin{equation} \mathrm{\Omega}^{\prime}\mathbf{z}=\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times}\mathbf{z} =U\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\mathbf{z}=U\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times} UU^{\boldsymbol{*}}\mathbf{z}=\left[\;\det\left(U\right)\cdot\left(U^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}U^{\boldsymbol{*}}\mathbf{z}\right) \tag{A-08} \end{equation}$$ Para la última igualdad a la derecha en (A-08) hacemos uso de la identidad

$$\begin{equation} \bbox[#E6E6E6,8px]{\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} = \left[\;\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)\cdot\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)} \tag{B-02} \end{equation}$$ expuesto y probado en el apartado B.

Desde$\:\det\left(U\right)=1\:$y$\:U^{-1}=U^{\boldsymbol{*}}\:$

$$\begin{equation*} \left[\det\left(U\right)\cdot\left(U^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\right] \left(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}U^{\boldsymbol{*}}\mathbf{z}\right) =\left[\left(U^{\boldsymbol{*}}\right)^{\mathsf{T}}\left(\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\right) U^{\boldsymbol{*}}\right]\mathbf{z}=\left[\left(U^{\boldsymbol{*}}\right)^{\mathsf{T}}\mathrm{\Omega} U^{\boldsymbol{*}}\right]\mathbf{z}=\left[\overline{U}\mathrm{\Omega} \left(\overline{U}\right)^{\mathsf{T}}\right]\mathbf{z} \end{equation*}$$ así que finalmente $$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=U\boldsymbol{\omega}\qquad\Longrightarrow\qquad \mathrm{\Omega}^{\prime}=\left(U^{\boldsymbol{*}}\right)^{\mathsf{T}}\mathrm{\Omega} U^{\boldsymbol{*}}=\overline{U}\mathrm{\Omega} \left(\overline{U}\right)^{\mathsf{T}} \tag{A-09} \end{equation}$$ Desde $\:\overline{U}\:$es también una transformación unitaria especial, $\:\overline{U}\in SU(3)\:$, reemplazando $\:U\:$por $\:\overline{U}\:$en la ecuación anterior (A-09) tenemos

$$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}\quad\Longrightarrow\quad \mathrm{\Omega}^{\prime}=U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}} \tag{A-10} \end{equation}$$ Note que las dos ecuaciones en (A-10) son equivalentes en el siguiente sentido: Si $\:\mathrm{\Omega}\:$es un $\:3\times 3\:$matriz antisimétrica, por lo que representa el producto $\:\boldsymbol{\omega}\boldsymbol{\times}\:$dónde $\:\boldsymbol{\omega} \in \mathbb{C}^{3}$, y $\mathrm{\Omega}^{\prime}=U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}}$,dónde $U \in SU(3)$, entonces $\:\mathrm{\Omega}^{\prime}\:$también es un $\:3\times 3\:$matriz antisimétrica

$$\begin{equation*} \text{Proof : } \left(\mathrm{\Omega}^{\prime}\right)^{\mathsf{T}} =\left(U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}} =\left(U^{\mathsf{T}}\right)^{\mathsf{T}}\mathrm{\Omega}^{\mathsf{T}}U^{\mathsf{T}} =U\left(-\mathrm{\Omega}\right)U^{\mathsf{T}}=-U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}} =-\mathrm{\Omega}^{\prime} \end{equation*}$$ y representa el producto $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}\boldsymbol{\times}\:$, dónde $\:\boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}\:$.

$$\begin{equation} \bbox[#FFFF88,8px]{\mathrm{\Omega}^{\prime}=U\mathrm{\Omega}U^{\mathsf{T}}\quad\Longleftrightarrow\quad \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega}} \tag{A-10$^{\prime}$} \end{equation}$$ Esto se confirma también equiparando por elementos en la ecuación $$\begin{equation*} \begin{bmatrix} 0 & -\omega^{\prime}_{3} & \omega^{\prime}_{2} \\ \omega^{\prime}_{3} & 0 & -\omega^{\prime}_{1} \\ -\omega^{\prime}_{2} & \omega^{\prime}_{1} & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} u_{11} & u_{12} & u_{13} \\ u_{21} & u_{22} & u_{23} \\ u_{31} & u_{32} & u_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & -\omega_{3} & \omega_{2} \\ \omega_{3} & 0 & -\omega_{1} \\ -\omega_{2} & \omega_{1} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{11} & u_{21} & u_{31} \\ u_{12} & u_{22} & u_{32} \\ u_{13} & u_{23} & u_{33} \end{bmatrix} \end{equation*}$$ flexible $$\begin{equation*} \begin{bmatrix} \omega^{\prime}_{1} \\ \omega^{\prime}_{2} \\ \omega^{\prime}_{3} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (u_{22}u_{33}-u_{23}u_{32}) &(u_{23}u_{31}-u_{21}u_{33}) & (u_{21}u_{32}-u_{22}u_{31}) \\ (u_{32}u_{13}-u_{33}u_{12} & (u_{33}u_{11}-u_{31}u_{13}) & (u_{31}u_{12}-u_{32}u_{11}) \\ (u_{12}u_{23}-u_{13}u_{22} & (u_{13}u_{21}-u_{11}u_{23}) & (u_{11}u_{22}-u_{12}u_{21}) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \omega_{1} \\ \omega_{2} \\ \omega_{3} \end{bmatrix} \end{equation*}$$ y así por (A-04) $$\begin{equation} \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\overline{U}\boldsymbol{\omega} \tag{A-11} \end{equation}$$

Nota: Este resultado tiene que ver con un primer paso para la construcción de bariones a partir de 3 quarks

$$\begin{equation} \boldsymbol{3}\boldsymbol{\otimes}\boldsymbol{3}=\boldsymbol{6}\boldsymbol{\oplus}\overline{\boldsymbol{3}} \tag{A-12} \end{equation}$$

La invariancia de ( el complejo$\:3\times 3\:$antisimetría del tensor ) bajo$\:U \in SU(3)\:$es la invariancia del complejo$\:3$-espacio dimensional de su representante$\:3$-vectores$\:\boldsymbol{\omega}\:$, que se transforman bajo $\:\overline{U}\:$ y no debajo $\:U\:$. Esto explica por qué$\:\overline{\boldsymbol{3}}\:$y no$\:\boldsymbol{3}$.

Si$\:U=\overline{U}=\mathrm{M}$, eso es$\:U\:$es real, entonces representa una rotación pura en$\:\mathbb{R}^{3}\:$,$\:\mathrm{M}^{\mathsf{T}}=\mathrm{M}^{-1}\:$y (A-10$^{\prime}$) rendimientos

$$\begin{equation} \mathrm{\Omega}^{\prime}=\mathrm{M}\mathrm{\Omega}\mathrm{M}^{-1}\quad\Longleftrightarrow\quad \boldsymbol{\omega}^{\prime}=\mathrm{M}\boldsymbol{\omega} \tag{A-13} \end{equation}$$

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Sección B : Una identidad útil necesaria en la sección A

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Si$\:\mathbf{a}= \left( \mathrm{a}_{1}, \mathrm{a}_{2}, \mathrm{a}_{3}\right),\:\mathbf{b}= \left( \mathrm{b}_{1}, \mathrm{b}_{2}, \mathrm{b }_{3}\right)$son complejos$\:3$-vectores en$\:\mathbb{C}^{3}\:$y$\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$una transformación lineal invertible en este espacio representado por el$\:3\times 3\:$matriz compleja

$$\begin{equation} \boldsymbol{\mathrm{M}}= \begin{bmatrix} \mathrm{M}_{11} & \mathrm{M}_{12} & \mathrm{M}_{13} \\ \mathrm{M}_{21} & \mathrm{M}_{22} & \mathrm{M}_{23} \\ \mathrm{M}_{31} & \mathrm{M}_{32} & \mathrm{M}_{33} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \boldsymbol{\rho}_{1} \\ \boldsymbol{\rho}_{2} \\ \boldsymbol{\rho}_{3} \end{bmatrix} \tag{B-01} \end{equation}$$ dónde $\:\boldsymbol{\rho}_{i}\; (i=1,2,3)\:$denote su complejo de filas $\:3$-vectores, entonces $$\begin{equation} \bbox[#E6E6E6,8px]{\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} = \left[\;\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)\cdot\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)} \tag{B-02} \end{equation}$$ dónde $$\begin{equation} \det \left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right) =\text{the determinant of } \boldsymbol{\mathrm{M}} = \boldsymbol{\rho}_{1}\circ \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \tag{B-03} \end{equation}$$

$$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}} = \text{the transposed inverse of} \: \boldsymbol{\mathrm{M}}= \dfrac{1}{\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)} \begin{bmatrix} \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{3} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{1}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{2}\right) \end{bmatrix} \tag{B-04} \end{equation}$$ La expresion $\:\mathbf{a}\circ\mathbf{b}\:$es definido por $$\begin{equation} \mathbf{a}\circ\mathbf{b}=\mathrm{a}_{1}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{a}_{2}\mathrm{b}_{2}+\mathrm{a}_{3}\mathrm{b}_{3} \tag{B-05} \end{equation}$$ no debe confundirse con el producto interior habitual en $\:\mathbb{C}^{3}\:$ $$\begin{equation} \boldsymbol{\langle}\mathbf{a},\mathbf{b}\boldsymbol{\rangle}=\mathrm{a}_{1}\overline{\mathrm{b}}_{1}+\mathrm{a}_{2}\overline{\mathrm{b}}_{2}+\mathrm{a}_{3}\overline{\mathrm{b}}_{3} \tag{B-06} \end{equation}$$ Prueba: Deja $$\begin{equation*} \mathbf{h}=\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} \end{equation*}$$ Si $\:\left\lbrace \mathbf{e}_{1}, \mathbf{e}_{2}, \mathbf{e}_{3}\right\rbrace\:$es una base ortonormal de $\:\mathbb{C}^{3}\:$entonces uno puede escribir formalmente, para cualquier vector de dos filas $$\begin{equation} \boldsymbol{\rho} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\sigma} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \\ \rho_1 & \rho_2 & \rho_3 \\ \sigma_1 & \sigma_2 & \sigma_3 \end{vmatrix} \end{equation}$$ ("formalmente" porque un determinante es número, aquí el $\mathbf{e}_i$son vectores). Por eso $$\begin{equation} \mathbf{h} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \\ \left( \mathrm{M}_{11}\mathrm{a}_{1}+\mathrm{M}_{12}\mathrm{a}_{2} +\mathrm{M}_{13}\mathrm{a}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{21}\mathrm{a}_{1}+\mathrm{M}_{22}\mathrm{a}_{2} +\mathrm{M}_{23}\mathrm{a}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{31}\mathrm{a}_{1}+\mathrm{M}_{32}\mathrm{a}_{2} +\mathrm{M}_{33}\mathrm{a}_{3}\right) \\ \left( \mathrm{M}_{11}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{M}_{12}\mathrm{b}_{2} +\mathrm{M}_{13}\mathrm{b}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{21}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{M}_{22}\mathrm{b}_{2} +\mathrm{M}_{23}\mathrm{b}_{3}\right) & \left( \mathrm{M}_{31}\mathrm{b}_{1}+\mathrm{M}_{32}\mathrm{b}_{2} +\mathrm{M}_{33}\mathrm{b}_{3}\right) \end{vmatrix} \end{equation}$$ o en forma más compacta $$\begin{equation*} \mathbf{h} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{1} & \mathbf{e}_{2} & \mathbf{e}_{3} \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1}\circ\mathbf{a}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ\mathbf{a}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{a}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1}\circ\mathbf{b}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ\mathbf{b}\right) & \left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{b}\right) \end{vmatrix} \end{equation*}$$ entonces $$\begin{eqnarray*} \mathrm{h}_{1} & = & \left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ \mathbf{a}\right)\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{b}\right) -\left(\boldsymbol{\rho}_{2}\circ\mathbf{b}\right)\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{a}\right)\\ & = & \boldsymbol{\rho}_{2}\circ\underbrace{\left[\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{b}\right)\mathbf{a} -\left(\boldsymbol{\rho}_{3}\circ\mathbf{a}\right)\mathbf{b}\right]} _{\boldsymbol{\rho}_{3}\boldsymbol{\times}\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)} = \boldsymbol{\rho}_{2}\circ\left[\boldsymbol{\rho}_{3}\boldsymbol{\times}\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right)\right]\\ & = & \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{eqnarray*}$$ eso es
$$\begin{equation*} \mathrm{h}_{1}=\left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ y por permutación cíclica de los índices 1,2,3 tenemos para las otras dos componentes $$\begin{equation*} \mathrm{h}_{2}=\left(\boldsymbol{\rho}_{3} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{1}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} \mathrm{h}_{3}=\left(\boldsymbol{\rho}_{1} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{2}\right) \circ \left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ y finalmente $$\begin{equation*} \mathbf{h}=\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b} = \begin{bmatrix} \left(\boldsymbol{\rho}_{2} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{3}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{3} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{1}\right) \\ \left(\boldsymbol{\rho}_{1} \boldsymbol{\times}\boldsymbol{\rho}_{2}\right) \end{bmatrix} \left( \mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b} \right) = \left[\;\det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)\cdot\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}\right)^{\mathsf{T}}\; \right]\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation*}$$ Tenga en cuenta que para $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$una matriz ortonormal real $$\begin{equation*} \boldsymbol{\mathrm{M}}\boldsymbol{\mathrm{M}}^{\mathsf{T}}=\boldsymbol{\mathrm{I}} \quad \Longrightarrow \quad \boldsymbol{\mathrm{M}}^{-1}=\boldsymbol{\mathrm{M}}^{\mathsf{T}} \text{ and } \det\left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\right)=\pm 1 \end{equation*}$$ y la ecuación (B-02) da como se esperaba $$\begin{equation} \left(\boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{a} \boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathrm{M}}\mathbf{b}\right) =\pm\boldsymbol{\mathrm{M}}\left(\mathbf{a} \boldsymbol{\times}\mathbf{b}\right) \end{equation}$$ El signo '+' es válido para $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$siendo una rotación pura mientras que el signo '-' es válido para $\:\boldsymbol{\mathrm{M}}\:$una rotación más una reflexión.