¿Cuándo es significativo un atractor?

Veamos qué sucede cuando realiza selecciones no óptimas de$τ$y$m$:

• Si$m$es demasiado baja, el atractor no se desplegará por completo, es decir, partes de su atractor reconstruido se superpondrán cuando no deberían. Esto es equivalente a las trayectorias que se cruzan en el espacio de fase, lo que significa que lo que ha reconstruido no es un atractor adecuado o una reconstrucción del espacio de fase, en particular, no es físicamente significativo.

  Ejemplo: cada imagen bidimensional del atractor de Lorenz, por ejemplo, esta .

• Si$m$es demasiado alto, no sucede nada malo, excepto que tiene dimensiones espurias con las que lidiar cuando procese su resultado.

  Ejemplo: incrusta el atractor de un oscilador impulsado y amortiguado (un círculo) en tres dimensiones, en lugar de dos. Sigue siendo un círculo.

• Si$τ$está ligeramente fuera de lo óptimo, su reconstrucción no será óptima para ver la estructura, pero seguirá siendo una reconstrucción válida. De hecho, el teorema de incrustación de Takens te da que casi todas las opciones de$τ$produce una incrustación adecuada, si solo sigue la equivalencia topológica. La ventaja de lo óptimo $τ$más bien es que pueda ver mejor la estructura del atractor, que los análisis numéricos del atractor sean más factibles y que el ruido de medición y similares tengan un impacto mínimo en su reconstrucción.

  Ejemplo: si utiliza un valor no óptimo$τ$para incrustar el atractor de un oscilador impulsado y amortiguado, no obtienes un círculo, sino una elipsis. Cuanto más lejos de su$τ$es decir, cuanto más plana es la elipsis. Es fácil ver que si su elipsis es suficientemente plana y tiene un ruido de medición suficientemente fuerte, la estructura se pierde. Además, hay opciones discretas de$τ$donde los puntos suspensivos se colapsan en una línea, que son la razón por la cual casi todas las opciones de $τ$produce una incrustación adecuada.

• Si$τ$está lejos del óptimo, aún es muy probable que tenga una incrustación adecuada en el sentido topológico, pero la estructura del atractor es innecesariamente complicada desde un punto de vista visual y el análisis posterior de sus resultados se vuelve más difícil.

  Ejemplo: Fraser and Swinney, PRA 33, 1134 (1986) contiene algunos ejemplos ilustrativos, en particular en la Fig. 1.

Entonces, si eliges$m$y$τ$no óptimo, aún puede obtener resultados significativos. Tenga en cuenta que la reconstrucción del atractor solo puede revelar la topología del atractor, y las formas topológicamente equivalentes pueden ser muy diferentes según otros criterios. Por último, tenga en cuenta que no existe una forma sencilla de obtener un resultado óptimo.$τ$y$m$para datos empíricos: no puede saber si sus elecciones son buenas antes de mirar los resultados (e incluso entonces, puede ser difícil saberlo).

No creo que el lapso de tiempo sea crítico. Seleccionar uno incorrecto puede significar que necesita analizar más datos para completar el espacio de fase, pero aún así debería generarlo con el tiempo suficiente. En cuanto al aspecto significativo, eso depende críticamente de la dimensión de incorporación. Por lo general, uno usa la capacidad humana para el reconocimiento de patrones para extraer significado de dichos datos. Si la dimensión de incrustación está mal seleccionada, solo verá una porción del espacio de fase y eso puede complicar el reconocimiento de patrones.

Que haya algún significado real en este esfuerzo depende del grado de universalidad en la clase de problema no lineal que está investigando.