Mapa de retorno de Poincaré como mapa de preservación del área

¿En qué sentido se conserva el área del mapa de retorno de Poincaré?

En el sentido habitual: su dinámica conserva los volúmenes del espacio de fase.

Estoy tratando de obtener algo de intuición sobre cómo el mapa de retorno de Poincaré preserva el área

No estoy muy seguro de tener uno yo mismo. Pero esto es consecuencia no solo de que el flujo hamiltoniano, sino también de que su mapa de Poincaré ( Ref. 2 ) sea simpléctico . Y, como se explica elocuentemente en el Libro del Caos de Cvitanović :

para flujos hamiltonianos la suma de$D$áreas orientadas$\mathcal{V}_i$delimitada por$D$bucles$\Omega\mathcal{V}_i$, uno por cada$(q_i,p_i)$plano, se conserva [...]. Se puede demostrar que también el$4, 6, ..., 2D$los volúmenes del espacio de fases se conservan.
[...]
El espacio de fase es$2D$-dimensional, pero como hay$D$combinaciones coordinadas conservadas por el flujo, moralmente un flujo hamiltoniano es$D$-dimensional. Por lo tanto, para los flujos hamiltonianos, la noción clave de dimensionalidad es$D$, el número de grados de libertad (dof), en lugar de la dimensionalidad del espacio de fase$d=2D$.

Entonces, todas estas cantidades conservadas permiten que la dinámica en la sección de Poincaré también sea conservativa.

Probablemente uno pueda tener una idea de cómo sucede exactamente esto al pasar por alguna prueba de ello. No encontré ninguno en una búsqueda rápida, pero las notas de clase muy legibles de Jason Frank sobre Modelado numérico de sistemas dinámicos lo hacen en una página ( Cap. 16, p. 101 ) para el mapa de flujo .

es la única área del mapa de retorno de Poincaré que se conserva para la recopilación de "puntos de retorno iguales"$\{(q^k_1,p^k_1)\}$? [en diferentes tiempos de reintersección]

Sí. Porque ese es el único tiempo que existe para el mapa: después de todo, si estamos hablando de que el mapa de Poincaré es conservador o no, lo estamos considerando como un sistema dinámico propio, y entonces el único tiempo significativo es la iteración discreta . número$k$.

Por lo general, un mapa de Poincaré$P$de un sistema dinámico suave, dado por un campo vectorial$X(x)$en un colector$M$, está construido sobre una sección transversal empotrada de codimensión 1$\Sigma$a una trayectoria periódica$\gamma_0$(órbita) del sistema. Luego, el mapa de Poincaré$P : \Sigma \to \Sigma$, también llamado mapa de primer retorno, es un difeomorfismo local en la sección transversal. Para construirlo:

1. tomar cualquier punto$x$en la sección transversal$\Sigma$, lo suficientemente cerca del punto especial$x_0 = \gamma_0 \,\cap \, \Sigma$, donde la órbita periódica perfora la sección transversal;

2. tomar la trayectoria única$\gamma_x$del campo vectorial$X(x)$que pasa a través$x$y síguelo en dirección a$X$hasta$\gamma_x$se cruza$\Sigma$por primera vez, después$x$. Este punto de intersección se denota$P(x)$y es la imagen de$x$bajo el mapa de Poincaré.

la trayectoria$\gamma_x$se considera como una curva no parametrizada, por lo que las órbitas a partir de$\Sigma$volver de nuevo allí en diferentes momentos, pero estos tiempos en realidad dependen sin problemas de la elección de$x \in \Sigma$, es decir, hay una función suave$t(x)$en$\Sigma$tal que$t(x)$es el tiempo que el punto$x$necesita ir a lo largo$\gamma_x$y volver a$\Sigma$como$P(x)$. Para algunos sistemas,$t(x)$puede pasar a ser una constante, pero en general no lo es (especialmente para la mayoría de los sistemas no lineales).

Ahora, si el campo vectorial$X(x)$es hamiltoniano con función$H(x)$en una variedad simpléctica$M$con una forma simpléctica de dos$\omega$, entonces$\Sigma$es de dimensión impar y no puede ser una subvariedad simpléctica de$M$, entonces la forma del volumen$\Theta = \omega \wedge \omega \wedge ... \wedge \omega$no es una forma de volumen cuando se restringe a$\Sigma$. Sin embargo, la restricción de$\omega$en$\Sigma$, aunque no es una forma simple, define la estructura de Poisson en$\Sigma$, es decir$\Sigma$es una variedad de Poisson y las intersecciones de las superficies planas del Hamiltonain$H$con$\Sigma$definir una codimensión una foliación simpléctica en$\Sigma$, que es invariante bajo el mapa de poincaré$P$. Ahora, en cada una de estas hojas simplécticas,$P$es simplectomorfismo y, por lo tanto, conserva el área. Básicamente, terminas con un mapa de Poincaré

$$P : \Sigma \, \cap \, \{H=const\} \to \Sigma \, \cap \, \{H=const\}$$ y encima de eso$\Sigma \, \cap \, \{H=const\}$junto con la forma simpléctica$\omega$prohibido para$\Sigma \, \cap \, \{H=const\}$es una subvariedad simpléctica de codimesnion 2 de$M$. Como$P$es simpléctico en$\Sigma \, \cap \, \{H=const\}$, es la preservación del área.

Hay otra interpretación, donde la situación es más directa. Si tiene una función de Hamiltonin periódica dependiente del tiempo$H(x,t)$en la variedad simpléctica$M$, decir$H(x, t+T) = H(x,t)$, miras el campo vectorial extendido

$$J\nabla_x H(x,t) + \frac{\partial }{\partial t}$$ definido en$M \times \big( \mathbb{R}\, /\, T\mathbb{Z} \big)$y entonces la sección transversal es simplemente$M\times \{0\} \equiv M \times \{T\}$entonces el mapa de Poincaré es simplemente $$P = \Phi^T\big|_{M\times \{0\} } \, : M\times \{0\} \, \to \, M\times \{T\}$$ dónde$\Phi^s(x,t)$es el flujo de fase del campo vectorial$J\nabla_x H(x,t) + \frac{\partial }{\partial t}$. Así, como el flujo$\Phi^s(x,t)$conserva la forma simpléctica en$M$, el mapa$P$es un simplectomorfismo y, por lo tanto, conserva el volumen.

Un ejemplo es un péndulo forzado como este:

$$\begin{align} &\frac{d x}{ dt} = p\\ &\frac{dp}{dt} = - \sin(x) + \cos(t) \end{align}$$ con Hamilton$H = \frac{1}{2} p^2 - \cos(x) - x\,\cos(t)$. Entonces el campo vectorial extendido es $$\begin{align} &\frac{d x}{ ds} = p\\ &\frac{dp}{ds} = - \sin(x) + \cos(t)\\ &\frac{dt}{ds} = 1 \end{align}$$