Integrabilidad y modelo PT-simétrico no lineal

Question

Integrabilidad y modelo PT-simétrico no lineal

Física
sistemas-complejos
leyes-de-conservacion
óptica no lineal
sistemas integrables
sistemas no lineales

p0fer

Vengo de un fondo de matemáticas y estos conceptos son un poco nuevos para mí. Estoy estudiando un ejercicio y me encuentro con el siguiente problema. Con $u_i(t)=u_i$ y por supuesto $u_i u_i^*=|u|^2$ para ( $i=1,2$ ) dónde $\chi$ , $\beta$ , $\omega_0$ y $\gamma$ son constantes, tenemos el sistema:

\begin{aligned} i \dot{{tu}_{1}} & = - (ω_{0} + i β) {tu}_{1} + x | {tu}_{1} |^{2} {tu}_{1} + γ {tu}_{2} \\ i \dot{{tu}_{2}} & = - (ω_{0} - i β) {tu}_{2} + x | {tu}_{2} |^{2} {tu}_{2} + γ {tu}_{1} . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} i \dot{u_1} & = -(\omega_0 + i \beta) u_1 + \chi |u_1|^2 u_1 + \gamma u_2 \\ i \dot{u_2} & = -(\omega_0 - i \beta) u_2 + \chi |u_2|^2 u_2 + \gamma u_1. \end{split} \end{equation}$

* Breve información física sobre el problema: es un dímero no lineal con simetría PT. El sistema consta de dos elementos de guía de ondas acoplados a PT con fuerza no lineal de Kerr $\chi$ que operan a una frecuencia $\omega_0$ . Cada una de las guías de ondas es monomodo, una proporciona ganancia y la otra la misma cantidad de pérdida. (Donde PT es la transformación combinada de paridad-tiempo, $u_1 \leftrightarrow u_2$ (transformación de paridad) y $t \to -t$ (inversión del tiempo)).

Quiere identificar las dos cantidades conservadas para $\beta=0$ y $\beta\neq0$ respectivamente, también escriba el sistema en una forma de $S_i$ 's. Los parámetros de Stokes son los siguientes:

\begin{aligned} S_{0} = | {tu}_{1} |^{2} + | {tu}_{2} |^{2}, S_{3} = | {tu}_{1} |^{2} - | {tu}_{2} |^{2}, \\ S_{1} = {tu}_{1} {tu}_{2}^{*} + {tu}_{1}^{*} {tu}_{2}, S_{2} = i ({tu}_{1} {tu}_{2}^{*} - {tu}_{1}^{*} {tu}_{2}) . \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} & S_0 = |u_1|^2 + |u_2|^2,\quad S_3 = |u_1|^2 - |u_2|^2,\\ & S_1 = u_1 u_2^* + u_1^* u_2,\quad S_2 = i(u_1 u_2^* - u_1^* u_2). \end{split} \end{equation}$

Aquí está lo que hice (escribí las cosas importantes aquí, y no muchos de los cálculos):

A) Para $\beta=0$ , fuerza $N$ se conserva lo cual es fácil tomando la derivada del tiempo:

norte = S_{0} = | {tu}_{1} |^{2} + | {tu}_{2} |^{2}

$\begin{equation} N = S_0=|u_1|^2 + |u_2|^2 \\ \end{equation}$

\begin{aligned} \frac{d norte}{d t} = \frac{d}{d t} (| {tu}_{1} |^{2} + | {tu}_{2} |^{2}) \Rightarrow \\ \frac{d norte}{d t} = (\dot{{tu}_{1}} {tu}_{1}^{*} + {tu}_{1} {\dot{{tu}_{1}}}^{*}) + (\dot{{tu}_{2}} {tu}_{2}^{*} + {tu}_{2} {\dot{{tu}_{2}}}^{*}) \Rightarrow \\ \frac{d norte}{d t} = 0 \end{aligned}

$\begin{equation} \begin{split} \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}(|u_1|^2+|u_2|^2)\Rightarrow \\ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d} t}=(\dot{u_1}u_1^*+u_1\dot{u_1}^*)+(\dot{u_2}u_2^*+u_2\dot{u_2}^*) \Rightarrow \\ \frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d} t}=0 \end{split} \end{equation}$

No estoy seguro de qué tipo de energía $E$ se conserva

b) para $\beta\neq0$ No puedo encontrar ninguna cantidad conservada.

También escribí el sistema inicial de una manera diferente multiplicándolo por $u_1^*$ y $u_2^*$ y luego sumarlos en un esfuerzo por escribirlos en una forma de $S_i$ 's y obtener algo útil, pero no llegué a ninguna parte.

Por lo tanto, agradecería cualquier idea o ayuda para resolver el sistema o encontrar las cantidades conservadas porque no puedo encontrar mucha información sobre este tema en línea.

ZeroTheHero

Algunas personas podrían obtener información adicional si pudiera ampliar el contexto físico de su pregunta.

qmecanico

¿El documento de ejercicios está disponible en línea?

p0fer

No, es un trabajo que da un profesor. Lo único que olvidé agregar es que tal vez algo en forma de

E = N + \frac{χ}{2} (| u_{1} |^{4} + | u_{2} |^{4})

$E = N + \frac{\chi}{2} \left( |u_1|^4 + |u_2|^4 \right)$ juega un papel, pero no estaba seguro, así que no lo escribí. Y para el sistema nos dio una pista para escribir

S_{1} + i S_{2}

$S_1+iS_2$ pero aún así no vi ningún progreso, esa es prácticamente toda la información.

p0fer

Algunas referencias útiles que pueden resultarle útiles: arxiv.org/abs/1311.4124 , arxiv.org/abs/1307.2788 , arxiv.org/abs/1005.5189 (3ra referencia donde

C, J

$C,J$ están presentes, probablemente sea la solución extraña para el sistema, para los otros dos, eche un vistazo a las primeras 2-3 páginas solamente)

qmecanico

Cruzado de math.stackexchange.com/q/2170993/11127

Respuestas (1)

Integrabilidad y modelo PT-simétrico no lineal

Algunas personas podrían obtener información adicional si pudiera ampliar el contexto físico de su pregunta.
No, es un trabajo que da un profesor. Lo único que olvidé agregar es que tal vez algo en forma de $E = N + \frac{\chi}{2} \left( |u_1|^4 + |u_2|^4 \right)$ juega un papel, pero no estaba seguro, así que no lo escribí. Y para el sistema nos dio una pista para escribir $S_1+iS_2$ pero aún así no vi ningún progreso, esa es prácticamente toda la información.
Algunas referencias útiles que pueden resultarle útiles: arxiv.org/abs/1311.4124 , arxiv.org/abs/1307.2788 , arxiv.org/abs/1005.5189 (3ra referencia donde $C,J$ están presentes, probablemente sea la solución extraña para el sistema, para los otros dos, eche un vistazo a las primeras 2-3 páginas solamente)

qmecanico · Answer 1

OP está estudiando un sistema acoplado de la forma
$\begin{matrix} (A) & \begin{aligned} i {\dot{tu}}_{1} & = - i β {tu}_{1} + x | {tu}_{1} |^{2} {tu}_{1} + γ {tu}_{2}, {tu}_{1}, {tu}_{2} \in C, \\ i {\dot{tu}}_{2} & = + i β^{*} {tu}_{2} + x | {tu}_{2} |^{2} {tu}_{2} + γ^{*} {tu}_{1}, x \in R ∖ {0}, β \in C, γ \in C ∖ {0} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} i \dot{u}_1 & ~=~ - i\beta u_1 + \chi |u_1|^2 u_1 + \gamma u_2, \qquad u_1,u_2~\in~\mathbb{C}, \cr i \dot{u}_2 & ~=~ + i\beta^{\ast} u_2 + \chi |u_2|^2 u_2 + \gamma^{\ast}u_1,\qquad \chi~\in~\mathbb{R}\backslash\{0\},\qquad \beta~\in~\mathbb{C},\qquad \gamma~\in~\mathbb{C}\backslash\{0\}. \end{split} \tag{A}$
Este sistema (A) es $PT$ -simétrico. La simetría de reflexión en el tiempo es $t \leftrightarrow -t$ . La simetría de paridad $P$ es $u_1 \leftrightarrow u_2^{\ast}$ .
El sistema (A) tiene una formulación lagrangiana para ${\rm Re}\beta=0$ :
$\begin{matrix} (B) & L := i \sum_{k = 1}^{2} {tu}_{k}^{*} {\dot{tu}}_{k} - H, H := 2 R mi (γ {tu}_{1}^{*} {tu}_{2}) + \sum_{k = 1}^{2} (| {tu}_{k} |^{2} I metro β + \frac{x}{2} | {tu}_{k} |^{4}) . \end{matrix}$ $L~:=~i \sum_{k=1}^2 u^{\ast}_k\dot{u}_k - H, \qquad H~:=~ 2{\rm Re}(\gamma u^{\ast}_1 u_2) +\sum_{k=1}^2\left(|u_k|^2{\rm Im} \beta +\frac{\chi}{2}|u_k|^4\right).\tag{B}$
Por redefinición de
$\begin{matrix} (C) & {tu}_{k} ⟶ {mi}^{- i t I metro β} {tu}_{k}, k \in {1, 2}, \end{matrix}$ $u_k~\longrightarrow~ e^{-it{\rm Im}\beta}u_k, \qquad k~\in~\{1,2\},\tag{C}$ podemos (y asumiremos) que $\beta\in\mathbb{R}$ es real. Por redefinición de $u_1$ y $u_2$ con fases opuestas podemos (y lo haremos) suponer que $\gamma\in\mathbb{R}$ es real.
Si definimos coordenadas polares $u_k=r_k e^{i\theta_k}$ , las ecuaciones de movimiento (A) se convierten en
$\begin{matrix} (D) & \begin{aligned} {\dot{r}}_{1} & = - β r_{1} + γ r_{2} pecado (θ_{2} - θ_{1}), \\ {\dot{r}}_{2} & = β r_{2} - γ r_{1} pecado (θ_{2} - θ_{1}), \\ - {\dot{θ}}_{1} & = x r_{1}^{2} + γ \frac{r_{2}}{r_{1}} porque (θ_{2} - θ_{1}), \\ - {\dot{θ}}_{2} & = x r_{2}^{2} + γ \frac{r_{1}}{r_{2}} porque (θ_{2} - θ_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} \dot{r}_1&~=~-\beta r_1 +\gamma r_2\sin(\theta_2\!-\!\theta_1), \cr \dot{r}_2&~=~\beta r_2 -\gamma r_1\sin(\theta_2\!-\!\theta_1), \cr -\dot{\theta}_1 &~=~\chi r_1^2 +\gamma \frac{r_2}{r_1}\cos(\theta_2\!-\!\theta_1), \cr -\dot{\theta}_2 &~=~\chi r_2^2 +\gamma \frac{r_1}{r_2}\cos(\theta_2\!-\!\theta_1). \end{split}\tag{D}$
Los parámetros de Stokes $S_{\mu}:={\bf u}^{\dagger}\sigma_{\mu}{\bf u}$ son dados por
$\begin{matrix} (MI) & \begin{aligned} S_{0} & = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}, \\ S_{3} & = r_{1}^{2} - r_{2}^{2}, \\ S_{1} & = 2 r_{1} r_{2} porque (θ_{2} - θ_{1}), \\ S_{2} & = 2 r_{1} r_{2} pecado (θ_{2} - θ_{1}) . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} S_0&~=~r_1^2+r_2^2, \cr S_3&~=~r_1^2-r_2^2, \cr S_1&~=~2r_1r_2\cos(\theta_2\!-\!\theta_1),\cr S_2&~=~2r_1r_2\sin(\theta_2\!-\!\theta_1). \end{split}\tag{E}$ Satisfacen una restricción $\vec{S}^2=S^2_0$ . Las ecuaciones de movimiento (D) se convierten en $\begin{matrix} (F) & \begin{aligned} {\dot{S}}_{0} & = - 2 β S_{3}, \\ {\dot{S}}_{3} & = - 2 β S_{0} + 2 γ S_{2}, \\ {\dot{S}}_{1} & = - x S_{2} S_{3}, \\ {\dot{S}}_{2} & = (x S_{1} - 2 γ) S_{3} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} \dot{S}_0 &~=~-2\beta S_3, \cr \dot{S}_3 &~=~-2\beta S_0+2\gamma S_2, \cr \dot{S}_1 &~=~-\chi S_2 S_3, \cr \dot{S}_2 &~=~(\chi S_1 -2\gamma) S_3. \end{split}\tag{F}$
ecuación (5) en la ref. 1 es la ec. (A) con $\gamma=1$ . Se enumeran 2 cantidades conservadas $C$ y $J$ en la ec. (7) de la ref. 1, cf. comentario anterior de OP. Suponemos que las generalizaciones pertinentes dicen
$\begin{matrix} (GRAMO) & \begin{aligned} C^{2} & := (x S_{1} - 2 γ)^{2} + (x S_{2})^{2}, \\ j & := S_{0} + \frac{2 β}{x} arcsen \frac{x S_{1} - 2 γ}{C} . \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{split} C^2~&:=~(\chi S_1-2\gamma)^2+(\chi S_2)^2, \cr J~&:=~S_0+\frac{2\beta}{\chi}\arcsin\frac{\chi S_1-2\gamma}{C}. \end{split}\tag{G}$ Es sencillo comprobar que son de hecho constantes de movimiento. En otras palabras, el sistema (A) con un espacio de fase real de 4 dimensiones es integrable .
Pensamiento posterior: Es tentador definir
$\begin{matrix} (H) & Σ_{\pm} := (S_{1} - \frac{2 γ}{x}) \pm i S_{2} = Σ_{\mp}^{*} . \end{matrix}$ $\Sigma_{\pm}~:=~\left(S_1 -\frac{2\gamma}{\chi}\right)\pm i S_2~=~\Sigma_{\mp}^{\ast}.\tag{H}$ Entonces $\begin{matrix} (I) & {\dot{Σ}}_{\pm} = \pm i x S_{3} Σ_{\pm}, \end{matrix}$ $\dot{\Sigma}_{\pm}~=~\pm i \chi S_3\Sigma_{\pm},\tag{I}$ y luego $\begin{matrix} (J) & q_{\pm} := Exp {\frac{i x S_{0}}{2 β}} Σ_{\pm} = q_{\mp}^{*} \end{matrix}$ $Q_{\pm}~:=~\exp\left\{\frac{i\chi S_0}{2\beta}\right\}\Sigma_{\pm}~=~Q_{\mp}^{\ast}\tag{J}$ es 1 complejo (correspondiente a 2 reales) constantes de movimiento.

Referencias:

H. Ramezani, T. Kottos, R. El-Ganainy y DN Christodoulides, Estructuras ópticas simétricas PT no lineales unidireccionales, arXiv:1005.5189 .

Hmm ya veo, también encontré $E$ para $\beta=0$ pero me gustaría hacer dos mini preguntas. 1) En mi trabajo para $\beta\neq0$ encontré $\dot {S_i}$ es tener signos opuestos, por ejemplo encontré $\dot{S_3}=2\beta S_3$ y así sucesivamente... 2) En segundo lugar, vi en su sistema inicial (A) que no incluyó $\omega_0$ , ¿no juega ningún papel en las ecuaciones y constantes de movimiento finales?
Hola de nuevo, siento molestaros de nuevo después de tantos días pero estoy revisando mi trabajo y tengo un problema (no quería crear un hilo nuevo al respecto). Entendí casi todo, pero te agradecería que me dijeras paso a paso cómo terminaste con las ecuaciones (G) y sobre todo $J$ . Supongo que los derivaste de la ecuación (J), pero no tiene ningún sentido para mí. Gracias, agradecería una respuesta.
Supongo que está de acuerdo en que las ecs. (G) y (J) describen constantes de movimiento y, por lo tanto, muestran la integrabilidad y resuelven el problema. Entonces, parece que su pregunta es: ¿ Cómo obtiene sistemáticamente, paso a paso, estas constantes de movimiento?
Exactamente sí. Incluso en la referencia hay una brecha seria que no explica cómo terminó con la constante de movimientos (ecuaciones (G)). También me gustaría una mejor explicación con (J).
En mi caso no fue realmente sistemático. ecuación (G) fue básicamente copiado de la ec. (7) en la ref. 1. Y ec. (J) vino después de jugar un poco con las ecuaciones.
Sí, ya veo. Tal vez alguna idea sobre cómo terminar en Eq. (G) paso a paso (tal vez podamos obtener la ecuación (G) de la ecuación (J))? Ese es el principal problema atm.

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