mapa de grado arbitrario de variedad compacta orientada a esfera

Esta es una pregunta de un examen de calificación. Dejar$X$ser un compacto, orientado$n$-variedad dimensional. Demuestra que para cualquier$k \in \mathbb{Z}$, existe un mapa continuo$f: X \to S^n$de grado$k$.

Estaba satisfecho con la muy buena solución a través de suspensiones en For every$k \in {\mathbb Z}$construir un mapa continuo$f: S^n \to S^n$con$\deg(f) = k$. en el caso de que$X = S^n$. Parece que para esta cuestión debería bastar con mostrar que existe un grado$\pm 1$mapa de$X$a$S^n$, y luego podemos componer con un grado$\pm k$automapa de$S^n$obtener un título$k$mapa de$X$a$S^n$(porque el grado de una composición de mapas es el producto de los grados de los mapas componentes).

Una idea que he tenido hasta ahora es considerar una incrustación$X \to \mathbb{R}^N \backslash \{0\}$para algunos grandes$N$y luego proyectar en el$n$-sphere, pero no sé cómo se garantizaría que esto tendría un grado 1. Y aunque esto no es necesario para responder a la pregunta, ¿qué sería un mapa de grado 1?$T^2 \to S^2$incluso parecer? No puedo visualizar fácilmente tal mapa.

EDITAR: para responder a mi propia pregunta sobre un mapa de grado 1$T^2 \to S^2$eso es un poco menos 'singular' que la respuesta de Jared a continuación: imaginando la esfera y el toro como sus bonitas formas de bola y rosquilla, simplemente coloque la esfera dentro del toro (es decir, en el tubo mismo, no en su centro de masa) y luego proyectar el toro sobre la esfera.