Variedad cerrada con grupos de homotopía como una esfera en el rango hasta la dimensión

Supongamos que uno tiene un cerrado$n$-colector M, con$\pi_i(M)=0$para$i=1,\ldots n-1$. Entonces hace$M$tiene que ser homeomorfo a una esfera?

Tenga en cuenta que esto no se sigue inmediatamente de la conjetura generalizada de Poincaré que establece que si todos los grupos de homotopía (incluidos los de grado superior a$n$) son iguales a la de una esfera entonces$M$es homeomorfo a una esfera.

Supongo que seguirá desde el GPC después de aplicar algún truco para mostrar$\pi_{k}(M)=\pi_{k}(S^n)$para$k>n$.

Tenga en cuenta, sin embargo, que bajo son suposiciones obtenemos$\pi_{n}(M) \cong \mathbb{Z}$por el teorema de Hurewicz.

Los supuestos implican que$M$es una esfera de homología integral, si eso ayuda o no, no estoy seguro.

Editar: Creo que encontré una referencia. En la página 79 tenemos la cita ". Pero cualquier esfera de homología integral simplemente conexa es del tipo de homotopía de la esfera (de la misma dimensión), por los teoremas de Hurewicz y Whitehead". Página 79 de ESPACIOS DE COMPLEJIDAD TOPOLOGICA ONE MARK GRANT, GREGORY LUPTON y JOHN OPREA.

Pero todavía me gustaría saber cómo funciona el argumento (¿cómo aplicamos el teorema de Whitehead aquí?).

Supongo que usamos$\pi_{n}(M) \neq 0$para construir un mapa no trival$S^n \rightarrow M$, pero necesitamos saber que este mapa conserva todos los grupos de homotopía?