Noción de grado de un mapa de una variedad orientable a una variedad no orientable

Antes de escribir mi pregunta, quiero escribir algo que sé.

Dejar$M$y$N$ser dos variedades topológicas conectadas cerradas (compactas, sin límite) de dimensión$n$. Ahora bien, si ambos son$\Bbb Z$-orientable (aunque simplemente escribimos orientable), entonces sabemos que

Ahora, en el caso$N$no es orientable, tenemos$H_n(N;\Bbb Z)=0.$Por lo tanto, no podemos definir la noción de grado de la manera anterior. Pero, tenemos orientación.$2$-cubrir. Es decir, hay una variedad orientable cerrada conectada$\widetilde N$y un$2$-mapa de cobertura de pliegues$\varphi:\widetilde N\to N$. Ahora, si podemos levantar nuestro mapa$f$a un mapa$\widetilde f:M\to \widetilde N$es decir$\varphi\circ \widetilde f=f$, entonces hablamos de grado de$f$es decir, podemos definir$\text{deg}(f):=2\cdot \text{deg}(\widetilde f)$. Posiblemente esta sea la forma más natural . Otra motivación para definir esta forma es que para cualquier$n$-mapa de cobertura de pliegues$p:X\to Y$entre dos complejos CW finitos tenemos$n\cdot \chi(X)=\chi(Y)$. Aunque, en general, no hay relación entre la característica de Euler y el grado de un mapa.

Pero este tipo de levantamiento no es posible, esto necesita satisfacer

A partir de aquí empieza mi pregunta.

$1.$¿Hay algún tipo particular de mapas para los que sea posible el tipo de elevación anterior?

$2.$Si$1.$no es cierto en general, ¿hay alguna noción de grado de un mapa de una variedad cerrada orientada a otra variedad cerrada pero no orientada?

Gracias, de antemano, cualquier ayuda será muy apreciada.