¿Los puntos de Lagrange se aplican a órbitas excéntricas o sistemas binarios?

1. la órbita del planeta es excéntrica, no un círculo perfecto

Aparentemente, @DavidHammen sabe lo suficiente sobre cosas como esta para ser peligrosas . No puedo hablar del tema matemáticamente, pero en la figura, el pequeño cigarro azul es la Tierra que oscila hacia y desde el Sol a medida que se mueve en su órbita ligeramente elíptica, y la órbita de aspecto genial es en este caso SOHO, que ha estado en una órbita de halo durante más de 20 años, ejecutando fielmente sus maniobras de mantenimiento de la estación hacia o desde el Sol, excepto cuando no lo hizo (ver Roberts 2002 vinculado allí).

La órbita de halo casi rectilínea de la futura puerta estelar propuesta , err..., agujero de gusano , err... puerta de enlace será una órbita de halo (casi rectilínea) ( 1 , 2 y respuestas allí) alrededor de la Tierra-Luna L1 y/ o L2 , y la excentricidad de eso es mucho mayor que la de la órbita heliocéntrica de la Tierra ($\epsilon$=0,055 frente a 0,017).

Siempre confundo mis obras de ciencia ficción. (¡Fuerza espacial!, ¡ Carreras de cohetes!, etc.)

Además, el enlace de radio de Chang'e-4 con el satélite de retransmisión Earth Queqiao será el Earth-Moon L2.

Entonces, para sistemas significativamente elípticos, sí. Para sistemas muy significativamente elípticos, alguien más tendrá que responder sobre el ER3BP y, por supuesto, alguien ya ha preguntado ¿Existen órbitas circulares naturales? para empezar.

2. Los dos cuerpos masivos tienen una masa comparable y orbitan un baricentro común (aunque ambos en órbitas circulares). Específicamente, ¿cómo se transformarían/moverían?

En esta respuesta , muestro cómo calcular las posiciones de L1 y L2 para dos masas. Intentaré hacer un gráfico de cómo se mueven los dos puntos a medida que cambia la proporción de las dos masas, eso tomará medio día, necesito obtener un 10-20 estable antes de mirar los puntos estables.

GIF: órbita SOHO, datos de Horizons , gráfico desde aquí

abajo a la izquierda: vista de arriba hacia abajo, once años. derecha: Vista lateral, un año. (Sol a la izquierda) Órbita del prototipo del Telescopio James Webb, datos de Horizons , trazado desde aquí

$\newcommand{\r}{\mathbf{r}}$ $\newcommand{\i}{\mathbf{i}}$

El conjunto de soluciones de Lagrange para el problema de los tres cuerpos es más general que solo los puntos, que son casos especiales de una familia más amplia de posibilidades. Las condiciones bajo las cuales existen son muy restrictivas, pero menos que las suposiciones estándar que enumera. Todo aquí es para el problema completo de los tres cuerpos (en el que las tres masas no son despreciables), no para el problema restringido de los tres cuerpos (en el que una masa se considera lo suficientemente pequeña como para tener un efecto insignificante en el movimiento de las dos más grandes) . Estas soluciones incluyen una forma de movimiento elíptico arbitrario, que intentaré describir. El texto que estoy siguiendo es An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics , de Richard Battin , capítulo 8. Una posible alternativa gratuita a la compra del libro es usarEstas notas de clase de MIT Open Course Ware, como las usa el propio Battin para enseñar en su propio libro, pero ofrecen muchas menos palabras de explicación entre las ecuaciones y se detienen antes de llegar a la forma elíptica final a la que me referiré.

Las soluciones de Lagrange son exactas sólo en el caso de que haya tres cuerpos en el mismo plano, todos girando alrededor de su centro de masa común. Cualquiera de los tres cuerpos siempre está instantáneamente en el mismo plano, sin importar qué más esté sucediendo, pero todas estas soluciones requieren que los tres cuerpos de interés permanezcan en el mismo plano todo el tiempo. Son "puntos" solo desde la perspectiva de un sistema de coordenadas que gira con un valor particular de velocidad angular constante ($\omega$) alrededor del centro de masa de los tres cuerpos. Los tres cuerpos deben estar dispuestos a lo largo de una línea (dando L1, L2 y L3), o en las esquinas de un triángulo equilátero (dando L4 y L5). Hay muchas otras cosas extrañas e interesantes que pueden suceder en los sistemas de múltiples cuerpos, pero estas son las únicas que pueden describirse exactamente en esta forma relativamente simple.

En las soluciones triangulares, el triángulo debe ser exactamente equilátero, por lo que los cuerpos siempre deben estar equidistantes entre sí, pero las tres masas pueden tener cualquier valor. Si las tres masas son iguales, el centro de masa del triángulo es equidistante de las tres masas iguales, por lo que las tres giran en la misma órbita circular alrededor de él, separadas por 120 grados. Cuando las masas son desiguales, el centro de masas (baricentro) se desplaza a un punto distinto del centro geométrico (baricentro), por lo que las distancias de las tres masas al centro de masas ya no son iguales, pero las distancias de las tres masas entre sí deben permanecer iguales. Las posiciones de los cuerpos en relación con el centro de masa son por definición$m_1 \r_1 + m_2 \r_2 + m_3 \r_3 = \mathbf{0}$; si los vectores están dispuestos de manera que los tres lados del triángulo ($\r_1-\r_2$,$\r_2-\r_3$, y$\r_3-\r_1$) son todos de igual longitud, entonces las condiciones podrían cumplirse. Las órbitas especiales existen si las velocidades de los tres objetos también funcionan para que se mantenga la forma equilátera (más sobre esto más adelante). En las órbitas especiales, el cuerpo más pesado se mueve en el círculo más pequeño (ya que el centro de masa está más cerca de la cosa más pesada) y el más ligero se mueve en el círculo más grande, pero las tres órbitas circulares tienen la misma velocidad angular. Esto es contrario a nuestra experiencia habitual, donde cuanto más lejos está un cuerpo, más lenta es su velocidad angular; pero esa es una expectativa derivada de la tercera ley de Kepler ($\omega^2 = GM/r^3$), y las "leyes" de Kepler solo se aplican exactamente en un sistema de dos cuerpos. La versión corregida, que se aplica exactamente en el caso del triángulo equilátero de tres cuerpos (la versión de línea recta es mucho más complicada), es$\omega^2 = G(m_1 + m_2 + m_3)/r^3$, donde$r$es la distancia entre las tres masas .

Cuando las tres masas están en una línea, las ecuaciones que describen las condiciones permitidas se vuelven más complicadas. Dado que el centro de masa también debe estar en el segmento de línea que conecta las tres masas, dos de las masas estarán a un lado, girando exactamente en fase entre sí, mientras que la tercera gira exactamente 180 grados fuera de fase con la otra. dos (en el caso degenerado, si las proporciones de masa se organizan correctamente, el cuerpo central podría estar ubicado en el centro de masa, en cuyo caso su "órbita" tiene radio cero, con los otros dos exactamente equilibrados para girar alrededor de él) . Una vez más, cada órbita es un círculo perfecto cuando se ve con respecto al centro de masa, pero si tratas de trazarlas como trayectorias una alrededor de la otra, ya no son círculos. Numerando los cuerpos en algún orden,$\i$desde el centro de masa a lo largo de la línea, como$\r_1=r\i$,$\r_2=(r+\xi)\i$, y$\r_3=(r+\xi+\xi\chi)\i$, y tratar de resolver para$\xi$y$\chi$en cuanto a las masas y$r$para saber en qué parte de la línea se deben colocar los tres. Cierta álgebra da como resultado una ecuación para los valores permitidos de$\chi$, cual es

$$(m_1 + m_2)\chi^5 + (3m_1 + 2m_2)\chi^4 + (3m_1 + m_2)\chi^3 - (m_2 + 3m_3)\chi^2 - (2m_2 + 3m_3)\chi - (m_2 + m_3) = 0$$ Esta y las ecuaciones correspondientes para$\xi$y$\omega$, son la fuente de las "constantes divertidas" que se encuentran en las fórmulas para L1, L2 y L3. El comentario de Battin es "La ecuación de condición tiene una y solo una raíz positiva, como se puede ver por el hecho de que los coeficientes cambian de signo solo una vez. Sin embargo, existen un total de tres soluciones de línea recta diferentes, ya que se pueden obtener dos más por una permutación cíclica del orden de las masas".

Hay una manera de recuperar las elipses en esto, si consideramos maximizar la generalidad de lo que ha llegado hasta ahora. Tanto en el caso triangular como en el lineal, la forma permitida de las posiciones que dan lugar a soluciones exactas está fuertemente restringida por las proporciones de las distancias, pero también hay un factor de escala general con el que aún no hemos jugado. Es decir, para cualesquiera tres masas cuyas posiciones$\r_1$,$\r_2$, y$\r_3$satisfacer uno de los casos descritos hasta ahora, para un factor de escala arbitrario$\rho$, las posiciones$\rho\r_1$,$\rho\r_2$, y$\rho\r_3$también satisfacen el mismo caso, aunque la velocidad de rotación$\omega$tiene que disminuir como$\rho$aumenta Esto incluso funciona de forma dinámica, donde el factor de escala varía con el tiempo, bajo ciertas condiciones. En particular, si ahora consideramos un marco de coordenadas que gira con una velocidad angular variable$\omega=d\theta/dt$, las condiciones de consistencia en$\rho(t)$y$\theta(t)$resulta ser idéntico a la solución Kepleriana estándar de dos cuerpos! Las tres órbitas de las tres masas alrededor de su centro de masa común pueden tener la excentricidad que desee, siempre que las tres órbitas compartan la misma excentricidad y estén escalonadas de modo que el triángulo equilátero o la configuración colineal crezcan y se encojan juntas a medida que giran. juntos, a través de lo familiar

$$\frac{d}{dt} \left( \rho^2 \frac{d\theta}{dt} \right) = 0 \,\,\, \mathrm{and}\,\,\, \frac{d^2\rho}{dt^2} - \rho\left(\frac{d\theta}{dt}\right)^2 = -\frac{\mu}{\rho^2}$$ Para más de tres cuerpos, todas estas ecuaciones ya no son correctas; pero si las masas de todo lo demás son muy pequeñas en comparación con los tres grandes, seguirán siendo aproximadamente correctas, al menos para los tres grandes. Esta es esencialmente la misma declaración que decir que las leyes de Kepler, que son exactamente verdaderas solo en el caso de solo dos masas puntuales, seguirán siendo aproximadamente correctas, ya que se agregan una variedad de pequeños términos de corrección. No conozco ningún sistema real de tres estrellas que tenga algo parecido a la estructura necesaria para que las soluciones Langrange exactas de tres cuerpos los describan bien, pero si está buscando hacer una historia de ciencia ficción sobre Lagrange tres- órbitas del cuerpo, sería una forma divertida de configurar las tres estrellas y dejar que las cosas de masa relativamente insignificante se muevan en su campo de gravedad.