Definición general de vector, espinor y espín.

Todo depende de cómo se transformen sus campos (los vectores y los espinores son campos en la teoría clásica, y cuando cuantifica en QFT, se convierten en campos con valores de operador) cuando realiza una transformación de Lorentz:

• Un escalar es un campo que no cambia en absoluto:$\phi'(x') = \phi(x)$. Ejemplos son el bosón de Higgs y los piones.

• Un campo vectorial es un campo que se transforma como un cuatro vector relativista.$A'_\mu (x') = {\Lambda^\nu}_\mu A_\nu(x)$, dónde$\Lambda$es una transformación de Lorentz. Algunos ejemplos son el campo electromagnético (fotones) y los gluones.

• Una transformación de campo de espinor usando un conjunto diferente de matrices

  $$\psi'(x') = \exp\left[(-i \vec{\theta} \pm\vec{\eta}) \cdot \frac{\vec{\sigma}}{2}\right] \psi(x)$$ dónde$\vec{\theta}$son los ángulos de rotación a lo largo de los ejes,$\vec{\eta}$la rapidez y$\vec{\sigma}$las matrices de Pauli. Como puedes ver, las matrices de Pauli son matrices de 2x2, por lo que esta transformada actúa sobre objetos con dos componentes, los espinores de Weyl . He escrito dos signos,$\pm$, porque hay dos tipos de transformaciones que actúan sobre dos tipos de espinores:$-$para espinores zurdos$\psi_L$y$+$para espinores diestros$\psi_R$. Pero los espinores de Weyl tienen dos problemas: cuando haces una transformación de paridad ($\vec{r} \to -\vec{r}$), los espinores cambian su manejabilidad y sabemos que QED y QCD son invariantes bajo paridad. Y la otra, como dices, es que los campos de Weyl deben carecer de masa.

• El espinor de Dirac resuelve ambos problemas. Es solo (en la representación quiral) un espinor de Weyl zurdo y uno derecho uno al lado del otro

  $$\psi = \begin{pmatrix} \psi_L\\ \psi_R \end{pmatrix}$$ El espinor de Dirac puede tener masa (aunque los espinores de Dirac sin masa están bien). Los electrones, muones, taus, neutrinos y quarks son campos de Dirac descritos.

• El espinor de Majorana es un espinor especial de Dirac, donde las partes izquierda y derecha no son independientes. Esta relación significa que una partícula de Majorana es igual a su antipartícula. Por lo tanto, el campo de Majorana no tiene carga eléctrica. Aunque solo necesita un espinor de Weyl para determinar un espinor de Majorana, los campos de Majorana aún pueden tener masa. Se conjetura que los neutrinos podrían ser partículas de Majorana (hay varios experimentos investigando esto).

Entonces, ¿dónde está el giro? El momento angular es una cantidad conservada relacionada con las rotaciones. Cuando aplicas el teorema de Nöther a un campo, obtienes dos términos: uno depende del movimiento de las partículas (el momento angular orbital) y el otro no (el giro ). La parte de espín está relacionada con el tipo de transformada de Lorentz que utiliza el campo: en campos escalares no hay término de espín (tienen espín 0), en campos espinores es una representación de rotaciones de dimensión 2 (espín 1/2), y en campos vectoriales una representación de rotaciones de dimensión 3 (giro 1).