¿Los errores de Euler?

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¿Los errores de Euler?

Matemáticas
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solicitud de referencia

Michael Hardy

¿Qué errores matemáticos se sabe que cometió Leonhard Euler?

PD: Como escribí en un comentario a continuación: "Sin embargo, no consideraría que la prueba sea un error simplemente porque no es una prueba según los estándares actuales". Todo el mundo sabe que Euler escribió sobre números enteros infinitamente grandes y sobre infinitesimales en formas que difieren de lo que hoy se considera lógicamente riguroso. Tenía en mente conclusiones o argumentos realmente erróneos que hoy no podemos reemplazar por ninguno que consideremos riguroso.

asaf karaguila

¿Quieres decir en demostraciones o en enunciados de teoremas?

Michael Hardy

Cualquiera de los dos, pero tal vez estos últimos sean más interesantes. Sin embargo, no consideraría que la prueba sea un error simplemente porque no es una prueba según los estándares actuales.

apnorton

Defina "error matemático". Esto es bastante vago. Si estoy escribiendo un problema (no para ser publicado, pero solo por diversión), y digo

2^{3} = 6

$2^3 = 6$ , es eso un error? ;)

Andrés E. Caicedo

@anorton Eso parece fuera de tema. Euler es uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. La pregunta se refiere a su conjunto de obras publicadas.

apnorton

@AndresCaicedo A menos que la pregunta tenga una edición que no aparece en mi pantalla, no lo especifica explícitamente. Me imagino que sería razonable suponer que sí, dado el interrogador, pero simplemente mantengo el mismo estándar que mantendría si un usuario de 1 representante entrara y hiciera esa pregunta. En otras palabras, que Euler sea prolífico no implica que la pregunta se refiera a obras publicadas.

Euler....ESTÁ_VIVO

Muriendo. En realidad, esto no es un error que cometió, ya que

Andrés E. Caicedo

@anorton Claro, está bien. Parece una lectura deliberadamente obtusa de una solicitud interesante, pero adelante. Tal vez haya algunos errores en su cálculo de una propina cuando cenó en San Petersburgo una noche de julio de 1727, y puede servir para un buen chisme.

Michael Hardy

Es más probable que Euler sea CONOCIDO (en la actualidad) por haber cometido un error en particular si lo publicó que si se lo susurró a su psiquiatra, pero si de alguna manera se sabe que cometió un error que nunca publicó, veo no hay razón por la que eso no deba incluirse aquí.

colormegone

Quizá le interese leer algunos de los libros de William Dunham sobre la obra de Euler. Mi impresión es que Euler fue bastante cuidadoso con lo que escribió y publicó, por lo que los "errores" tienden a correr más hacia el límite de cuán confiable era su intuición o qué tan bien se entendieron ciertos conceptos (como la convergencia de series infinitas) en el siglo 18.

asaf karaguila

@Euler....IS_ALIVE: Ese es el resultado de su error anterior. Retó a Chuck Norris a un concurso que incluía contar todos los dígitos de

π

$\pi$ ; encontrar el menor número que no se puede describir en menos de diez palabras; y un torneo de patadas giratorias.

Michael Hardy

Por cierto, un poeta con licencia completa me aseguró que el asunto que di a esta pregunta es "extremadamente eufónico".

izq.

Consulte math.stackexchange.com/questions/113162/… .

Respuestas (6)

¿Los errores de Euler?

¿Quieres decir en demostraciones o en enunciados de teoremas?
Cualquiera de los dos, pero tal vez estos últimos sean más interesantes. Sin embargo, no consideraría que la prueba sea un error simplemente porque no es una prueba según los estándares actuales.
Defina "error matemático". Esto es bastante vago. Si estoy escribiendo un problema (no para ser publicado, pero solo por diversión), y digo $2^3 = 6$ , es eso un error? ;)
@anorton Eso parece fuera de tema. Euler es uno de los matemáticos más prolíficos de todos los tiempos. La pregunta se refiere a su conjunto de obras publicadas.
@AndresCaicedo A menos que la pregunta tenga una edición que no aparece en mi pantalla, no lo especifica explícitamente. Me imagino que sería razonable suponer que sí, dado el interrogador, pero simplemente mantengo el mismo estándar que mantendría si un usuario de 1 representante entrara y hiciera esa pregunta. En otras palabras, que Euler sea prolífico no implica que la pregunta se refiera a obras publicadas.
Muriendo. En realidad, esto no es un error que cometió, ya que
@anorton Claro, está bien. Parece una lectura deliberadamente obtusa de una solicitud interesante, pero adelante. Tal vez haya algunos errores en su cálculo de una propina cuando cenó en San Petersburgo una noche de julio de 1727, y puede servir para un buen chisme.
Es más probable que Euler sea CONOCIDO (en la actualidad) por haber cometido un error en particular si lo publicó que si se lo susurró a su psiquiatra, pero si de alguna manera se sabe que cometió un error que nunca publicó, veo no hay razón por la que eso no deba incluirse aquí.
Quizá le interese leer algunos de los libros de William Dunham sobre la obra de Euler. Mi impresión es que Euler fue bastante cuidadoso con lo que escribió y publicó, por lo que los "errores" tienden a correr más hacia el límite de cuán confiable era su intuición o qué tan bien se entendieron ciertos conceptos (como la convergencia de series infinitas) en el siglo 18.
@Euler....IS_ALIVE: Ese es el resultado de su error anterior. Retó a Chuck Norris a un concurso que incluía contar todos los dígitos de $\pi$ ; encontrar el menor número que no se puede describir en menos de diez palabras; y un torneo de patadas giratorias.
Por cierto, un poeta con licencia completa me aseguró que el asunto que di a esta pregunta es "extremadamente eufónico".

usuario142299 · Answer 1

Euler aparentemente tuvo algunos problemas para derivar el jacobiano utilizado en el cambio de variables para integrales dobles.

Comenzó considerando transformaciones congruentes que consisten en funciones lineales (afines), y obtuvo algo como

d X d y = metro \sqrt{1 - {metro}^{2}} d t^{2} + (1 - 2 {metro}^{2}) d t d v - metro \sqrt{1 - {metro}^{2}} d v^{2}

$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=m\sqrt{1-m^2}\,\mathrm{d}t^2+(1-2m^2)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}v-m\sqrt{1-m^2}\,\mathrm{d}v^2$ que describió como "obviamente incorrecto e incluso sin sentido". Luego consiguió

d X d y = (\frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial X}{\partial t}) d t d v

$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\left(\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial t}\right)\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}v$ que no era simétrico en las variables, y por lo tanto no serviría. Finalmente, derivó la correcta

d X d y = | \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial X}{\partial t} - \frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial X}{\partial v} | d t d v

$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\left|\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial t}-\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial v}\right|\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}v$ y lamentó que simplemente multiplicando

d X d y = (\frac{\partial X}{\partial t} d t + \frac{\partial X}{\partial v} d v) (\frac{\partial y}{\partial t} d t + \frac{\partial y}{\partial v} d v) = | \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial X}{\partial t} + \frac{\partial y}{\partial t} \frac{\partial X}{\partial v} | d t d v

$\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y=\left(\frac{\partial x}{\partial t}\,\mathrm{d}t+\frac{\partial x}{\partial v}\,\mathrm{d}v\right)\left(\frac{\partial y}{\partial t}\,\mathrm{d}t+\frac{\partial y}{\partial v}\,\mathrm{d}v\right)=\left|\frac{\partial y}{\partial v}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial y}{\partial t}\frac{\partial x}{\partial v}\right|\,\mathrm{d}t\,\mathrm{d}v$ y triturar los diferenciales al cuadrado arrojó una respuesta incorrecta pero irritantemente cercana.

Pero recordemos, si Euler cometió errores fue solo por la amplitud inigualable de su obra. Si pudiera terminar con una cita del artículo citado a continuación: "Como desarrollador de algoritmos para resolver problemas de varios tipos, Euler nunca ha sido superado".

Fuente: Para una excelente revisión de la historia del jacobiano y para aprender más sobre los detalles de lo que he escrito, recomiendo leer este artículo del Prof. Victor J. Katz ( Internet Archive , jstor .

Para ser justos, acabo de enseñar el material de un capítulo completo sobre lo que equivale a este mismo error.
@RyanReich ¿En serio? ¿Fue para una clase de historia de las matemáticas o algo así?
¡De nada! Este cálculo es la base de la teoría moderna de integración en variedades utilizando formas diferenciales.
Este cálculo de Euler es, por supuesto, la mejor prueba de que lo que realmente se está integrando es una forma diferencial cuya propiedad de signo alternante hace que aparezca un signo menos, de modo que se obtiene el determinante como se esperaba (en lugar del permanente). Esto también permite deshacerse de los valores absolutos alrededor del determinante al hacer integrales múltiples. El punto principal es que el cambio de variables debe verse como una operación en el formulario 2 del área firmada .

P Vanchinathan · Answer 2

P Vanchinathan

Euler conjeturó que para $n=2\pmod 4$ no hay cuadrados latinos mutuamente ortogonales de tamaño $n\times n$ . Bose y Shrikande lo refutaron por construcción y se ganaron el nombre de Spoilers de Euler. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Graeco-Latin_square

Andrés E. Caicedo

Pero esto no es un error, seguramente. A menos que afirmara el resultado, y solo ahora leemos su afirmación como una (falsa) conjetura. El enlace que proporciona no especifica si este fue realmente el caso.

P Vanchinathan

@Andres Caicedo: Creo que es justo decir que alguien se equivocó cuando se desmiente la conjetura que hizo. Permítanme copiar y pegar partes relevantes de ese artículo de Wikipedia: <cita> En abril de 1959, Parker, Bose y Shrikhande presentaron su artículo que mostraba que la conjetura de Euler era falsa para todo n ≥ 10. Por lo tanto, los cuadrados greco-latinos existen para todos los órdenes. n ≥ 3 excepto n = 6. <end-quote>

Valera

Sí, pero creo que esta respuesta es coherente con el espíritu de la pregunta. Si bien no es realmente un error como tal, esta conjetura fue obviamente algo que Euler pensó que era cierto. Al ver que la conjetura de Euler resultó ser falsa, es un indicador de la existencia del coeficiente de humanidad de este matemático: no tenía un espejo completamente infalible en el universo matemático, pero aún así tenía uno muy bueno.

Andrés E. Caicedo

Nuevamente, puede que solo sea una cuestión de definiciones, pero no considero que una conjetura sea un error. es una conjetura Cuando conjeturo algo, aunque sea por escrito, no sé si es verdad a pesar de que mi intuición me diga que lo es. No afirmo que sea verdad, sólo que creo que es verdad. Ahora bien, si afirmo que es cierto, entonces puede ser diferente, pero realmente depende de las costumbres para tratar los enunciados conjeturales en ese momento. Por eso la referencia a Wikipedia no es muy satisfactoria. Sería mejor examinar lo que Euler realmente escribió al respecto.

P Vanchinathan

Lo admito, no he leído el trabajo original de Euler donde se establece esta conjetura. Si las lagunas/suposiciones no verificadas en un argumento de una prueba deben considerarse errores, entonces esto puede no contar como error según dicha definición.

Evgeni Serguéiev

Cada vez que los matemáticos intentan axiomatizar el lenguaje hablado... obtenemos párrafos muy largos.

P Vanchinathan

@Evgeni Serguev. Esa es una observación divertida y válida.

NSJOHN

¡Hola señor! ¿Puedo saber dónde estás enseñando?

P Vanchinathan

@NSJOHN Cuando su comentario (¿pregunta?) esté dirigido a una persona, haga explícito a quién se dirige. Si alguien quiere revelar información personal sobre sí mismo, estará disponible cuando haga clic en sus nombres.

NSJOHN

@P Vanchinathan Sí, vi su perfil, señor. Soy de la India también. Quería saber dónde estás enseñando. soy un estudiante de 10mo grado

P Vanchinathan

Ver el perfil en el sitio enlazado "mathoverflow"

Euler....ESTÁ_VIVO · Answer 3

A Euler le gustaba jugar rápido y suelto con series divergentes. Los matemáticos de esa época no parecían estar preocupados por los problemas de convergencia.

Para un ejemplo más concreto, Euler cometió un gran error al tratar de probar el último teorema de Fermat para $n=3$ . Para obtener más información, consulte http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/HistTopics/Fermat%27s_last_theorem.html

¿Sabes si realmente considera válidos sus cálculos con series, o simplemente un medio heurístico para llegar a conclusiones?
También se dedicó algún tiempo a buscar un método de solución de la ecuación quíntica general. Pero no está claro si fallar en resolver un problema donde una comprensión posterior más amplia (y nuevas "herramientas") revelaría que tal esfuerzo sería inútil es un "error".

alex r · Answer 4

alex r

Esto no es un error de buena fe, pero ciertamente es una trampa. Esperemos que alguien pueda verificar lo siguiente. En la demostración original de Euler del problema de Basilea $(\zeta(2)=\pi^2/6$ ), utilizó el hecho de que

pecado (z) = z \prod_{norte \geq 0} (1 - \frac{z^{2}}{{norte}^{2} π^{2}}) .

$\sin(z)=z\prod_{n\geq 0}\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right).$

Esto fue mucho antes del teorema de factorización de Weierstrass, que permite un prefactor de $e^{g(z)}$ y en el caso del seno, este prefactor es solo 1. Mostrar rigurosamente que la factorización anterior se cumple y que el prefactor es 1 no es trivial y, hasta donde yo sé, Euler no tenía una prueba sólida de este hecho.

usuario142299

Esta página wiki: en.wikipedia.org/wiki/Basel_problem#Euler.27s_approach está de acuerdo con lo que ha afirmado. Sin embargo, dado que resolvió un problema famoso y correctamente , no sé si llamaría a esto un error (o incluso una trampa).

Mijaíl Katz

La idea de que se necesita Weierstrass para formalizar a Euler no sólo es tentativa; en realidad está mal . En este artículo se explica una formalización moderna de la descomposición del seno en producto infinito de Euler siguiendo de cerca al propio Euler (en lugar de Weierstrass).

Mijaíl Katz

En otras palabras, no es en absoluto un "escollo" que Euler no haya seguido las reglas de Weierstrass.

daniel pescador

@ user72694 Creo que su detector "Weierstraß vs. infinitesimals" dio una falsa alarma aquí. Weierstraß entra aquí sólo como quien demostró el teorema general de factorización, lo que facilitaría la demostración de la fórmula del producto del seno, ya que con ella se conoce la estructura de las partes. Si la derivación del producto de Euler fue rigurosa o no es una pregunta diferente (cuya respuesta no sé, no he leído la del hombre mismo).

Michael Hardy

Realmente no consideraría errores como este en el sentido que pretendía. Todo el mundo sabe que Euler hizo muchas cosas como esta y eso es lo que tenía en mente cuando escribí en un comentario anterior: "Sin embargo, no consideraría que la prueba sea un error simplemente porque no es una prueba según los estándares actuales". pero tienes

x

$x$ como la variable independiente de la izquierda y

z

$z$ A la derecha.

Mijaíl Katz

@DanielFischer, obviamente, Euler no sabía nada de los marcos fundamentales modernos, por lo que no se puede afirmar que sus pruebas sean literalmente verdaderas sin caer en el presentismo. Sin embargo, mantengo mi punto de que una suposición implícita de la respuesta de Alex es que la única forma de justificar el argumento de Euler es por medios de Weierstrassian. Kanovei ya demostró que este no era el caso en la década de 1980, y se analiza en detalle aquí . Entonces, en general, mantendría que el detector "Weierstrass vs. infinitesimals" suena como alarma roja aquí.

daniel pescador

@ user72694 Mi punto es que estoy convencido de que estás leyendo la respuesta incorrectamente. El punto de Alex, tal como lo entiendo, no es en absoluto que uno no pueda dar una prueba rigurosa de la representación del producto en cualquier tipo de análisis no estándar que prefiera. El punto, tal como lo entiendo, es que Alex dice que Euler no tenía una prueba rigurosa (entendámoslo como "riguroso según los estándares de la época de Euler") del hecho de que

g (z)

$g(z)$ en la representación del producto

pecado z = {mi}^{gramo (z)} \cdot z \prod_{norte = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{{norte}^{2} π^{2}})

$\sin z = e^{g(z)}\cdot z\prod_{n=1}^\infty\left(1-\frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)$ se desvanece de manera idéntica. (No sé si Euler lo había hecho).

Mijaíl Katz

@DanielFischer, ese es solo mi punto: no se puede afirmar que ningún matemático antes de la década de 1870 haya dado una prueba rigurosa de nada , porque el estándar de rigor que usamos hoy depende de los marcos fundamentales que solo se han desarrollado desde la década de 1870. Sólo se puede hablar de tal o cual formalización de los argumentos utilizados por los grandes pioneros clásicos. Afirmar que no fueron "rigurosos" es en cierto modo una declaración vacía porque no podrían serlo en el sentido en que entendemos el término "rigor". Aquí la dicotomía de Benacerraf de práctica matemática versus

Mijaíl Katz

... la ontología matemática puede ser muy útil para resolver estos problemas. Si gusta puedo enviarle un texto que explora estos temas específicamente en el contexto de Euler.

daniel pescador

@ user72694 Creo que todavía te estás perdiendo el punto. El punto no es que los estándares de rigor de hoy sean diferentes. Incluso en la época de Euler, era evidente que

" pag (z) = z \prod_{norte = 1}^{\infty} (1 - \frac{z^{2}}{{norte}^{2} π^{2}})

$"p(z) = z\prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{z^2}{n^2\pi^2}\right)$ es una función entera que tiene los mismos ceros que

\sin z

$\sin z$ "no es una prueba rigurosa de

p (z) = \sin z

$p(z) = \sin z$ . Incluso sin ir a una biblioteca para mirar el trabajo original de Euler, estoy dispuesto a apostar que Euler dio más argumentos que eso para concluir que

\frac{\sin z}{p (z)} \equiv 1

$\frac{\sin z}{p(z)} \equiv 1$ , pero no me resulta imposible creer que sus argumentos carecieran de los estándares de entonces.

daniel pescador

Me abstengo de opinar sobre ese punto, porque no he leído lo que realmente escribió Euler cuando obtuvo la representación de su producto.

colormegone

La "biblioteca" a la que puede "ir" hoy en día (siempre que sepa qué documentos está buscando y sepa leer en latín) está aquí: eulerarchive.maa.org

Mijaíl Katz

@DanielFischer, si el OP o usted están insinuando que Euler simplemente notó que el seno tiene los mismos ceros que el producto infinito y de esto saltó a la conclusión de que deben ser iguales explotando implícitamente el teorema de Liouville, entonces puedo asegurarle que Euler lo hizo nada de ese tipo. Más bien, proporcionó un argumento elaborado de aproximadamente 7 pasos distintos, como se discutió en la referencia que proporcioné anteriormente. Creo que esta discusión apoya mi sugerencia de que se debe restaurar la objetividad en la erudición de Euler...

Mijaíl Katz

... y, por lo tanto, los invito a mostrar su mente abierta y votar para reabrir este hilo: math.stackexchange.com/questions/764242/…

daniel pescador

@ user72694 Como dije, sin siquiera mirar, estoy dispuesto a apostar que Euler dio más argumentos a favor de la identidad. Lo que no sé es si los argumentos que dio fueron suficientes. Pero la cuestión de si los argumentos que dio fueron suficientes o no probablemente no dependa del uso de infinitesimales de ninguna manera. Creo que estás leyendo cosas en esta respuesta que el autor no quiso decir de ninguna manera. Puedo estar equivocado en esa interpretación, por supuesto, pero no veo nada en la respuesta que vincule la supuesta falta de una prueba rigurosa con el uso de infinitesimales por parte de Euler.

alex r

@ user72694: Su referencia es esclarecedora. Una cosa que corrobora es que efectivamente hubo lemas "ocultos" en el trabajo en los pasos de su derivación que necesitaban más justificación. Mirando brevemente estos lemas ocultos, parecen terriblemente similares a la prueba del teorema de factorización de Weierstrass, en particular la tasa de descomposición de la serie involucrada. No creo que nadie aquí discuta la utilidad de sus métodos. Quizás una buena clasificación sería "métodos de física en matemáticas" que tienen cierta ondulación manual en el proceso.

Mijaíl Katz

@DanielFischer, ciertamente no quise dar a entender que el OP tiene prejuicios contra los infinitesimales; de lo contrario. Incluso dejé un comentario en una de sus respuestas recientes agradeciéndole por presentar una visión equilibrada de estos infinitesimales. Sin embargo, existe una percepción general de que había algo lógicamente erróneo en los primeros trabajos de cálculo infinitesimal, y esto también afecta nuestra visión de Euler. Y ciertamente no estoy de acuerdo con su comentario anterior de que la prueba de Euler de la fórmula del producto infinito tiene buenas posibilidades de no ser rigurosa incluso para los estándares de su época.

alex r

Además, cuando digo "escollo" realmente quiero decir que tal vez si se aplicaran técnicas similares en otros lugares, uno no tendría tanta suerte. Me falta pensar en un ejemplo en este momento, pero parece que uno debería tratar de encontrar una función cuya serie de Taylor decaiga más lentamente que el requisito del lema oculto que, con suerte, daría una respuesta extraña para la factorización.

Mijaíl Katz

@AlexR., ciertamente aprecio tu interés. Algunos de los argumentos infinitesimales son similares a los tradicionales, otros no. El punto de vista del "lema oculto" sobre el trabajo de Euler fue iniciado por Laugwitz en una serie de estudios serios publicados en revistas de historia y filosofía de primer nivel, y ha sido perseguido fructíferamente por varios autores en las últimas dos décadas. Y de nuevo, no creo que los métodos infinitesimales de Euler involucraran más "agitación manual" que cualquier otro campo de las matemáticas en ese momento.

daniel pescador

@ user72694 "No me parece imposible de creer" es algo bastante diferente a "tiene buenas posibilidades".

Mijaíl Katz

@DanielFischer, tal vez esto debería trasladarse a SE English en este momento :-)

hierba m · Answer 5

Se puede leer en el libro de Peter Schumer "Introducción a la teoría de los números" en la página 80, que Euler dio una prueba defectuosa de que todos los números primos tienen raíces primitivas.

Kennedy · Answer 6

En la Introducción de puntos racionales en curvas elípticas de Silverman y Tate, se afirma que Euler, en la década de 1730, proporcionó una solución incorrecta a una pregunta planteada por Fermat en la década de 1650, que era mostrar que la ecuación

y^{2} - X^{3} = - 2

$y^2 - x^3 = -2$ tiene sólo dos soluciones en números enteros, a saber

(3, \pm 5) .

$(3,±5).$ Sin embargo, no se da ninguna cita.

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