Estoy leyendo el libro de Colin Pask Magnificent Principia y en 16.7.2 afirma que la dificultad del problema de los 3 cuerpos está ligada en parte a la falta de leyes de conservación adicionales a nuestra disposición. En particular, dice esto con respecto a Heinrich Bruns:
De hecho, en 1887, el matemático y astrónomo Ernst Heinrich Bruns demostró que no hay más [más allá de la conservación de la energía, el momento y el momento angular] integrales algebraicas o leyes de conservación para ayudarnos.
No se proporciona ninguna referencia directa en el trabajo para este resultado de Bruns. Estoy interesado en lo siguiente: 1) ¿Cuál es el resultado específico de la referencia a Bruns y dónde se puede encontrar? 2) De manera más general, ¿qué contribuyó Bruns a nuestro conocimiento del problema de los 3 cuerpos?
Poincaré hizo un uso esencial de los resultados de Bruns en su famosa memoria Le Probléme des Trois Corps [El problema de los tres cuerpos], Revue générale des sciences pures et appliquees 2, 1-5 (1891). Aquí está el resumen de Poincaré de los resultados de Bruns, y los suyos propios, traducidos por Chenciner en Poincaré and the Three-Body Problem :
" Las ecuaciones diferenciales del problema de los tres cuerpos poseen una serie de integrales conocidas desde hace mucho tiempo; estas son las del movimiento del centro de masa, las integrales de área, la energía. Era extremadamente improbable que pudieran tener otras ecuaciones algebraicas. integrales; sin embargo, es sólo en los últimos años que el Sr. Bruns ha probado esto rigurosamente. Pero podemos ir más allá; aparte de las integrales conocidas, el problema de los tres cuerpos no admite integral analítica y uniforme; un estudio cuidadoso de las propiedades de soluciones periódicas y asintóticas es suficiente para establecer esto. Se puede concluir que los diversos desarrollos propuestos hasta ahora son divergentes, pues su convergencia implicaría la existencia de una integral uniforme " .
Chenciner brinda una discusión exhaustiva y hace referencia al artículo original de Bruns, H. Bruns, Über die Integrale des Vielkörper-problems [Sobre las integrales de los problemas de cuerpos múltiples], Acta Mathematica, volumen 11 (1887). También es relevante el artículo de Poincaré Sur la Méthode de Bruns [Sobre el método de Bruns], CRAS 1896, t. 123, 1224-1228.
Curiosamente, a pesar de todo esto, existe una solución en serie de potencias convergentes para el problema de los 3 cuerpos, que fue encontrada por Sundman en 1913. Saari da una descripción accesible de la construcción de Sundman en A Visit to the Newtonian N-body Problem via Elementary Complex Variables :
"Irónicamente, una de sus principales conclusiones mató el interés en una línea de investigación, por lo que este resultado en particular no es muy conocido. Debería ser; es donde Sundman "resolvió" el problema de los tres cuerpos de acuerdo con los estándares aceptados de finales de 1800 y principios de 1900. De hecho, a finales de 1800 el Rey de Suecia y Noruega estableció un premio para cualquiera que pudiera encontrar la solución de N- problema del cuerpo El premio fue otorgado a Poincaré en 1889 a pesar de que no había resuelto el problema original. (Por otro lado, el trabajo premiado de Poincaré contiene una gran cantidad de ideas que siguen siendo influyentes.) El problema planteado originalmente fue finalmente resuelto en 1913 por Sundman [16] cuando encontró una solución de serie convergente para el problema de los tres cuerpos. Desafortunadamente, su serie converge tan lentamente que, esencialmente,"
Este es un raro ejemplo de una solución explícitamente constructiva que está tan lejos de ser prácticamente útil. No obstante, existe un interés renovado recientemente en generalizar los métodos de Sundman al -problemas corporales con .
No tengo suficientes puntos de reputación para publicar esta pregunta como comentario, que era mi intención original, pero puedo publicarla como respuesta.
Dada la solución de la serie de potencias convergentes de Sundman, ¿qué quiere decir exactamente la traducción de Chenciner de Poincaré con "el problema de los tres cuerpos no admite integral analítica y uniforme"?