Definición Espacio Topológico

Considere la definición de un espacio topológico:

Espacio topológico: una topología en un conjunto X es una colección T de subconjuntos de X tal que

  1. ∅ , X ∈ T .

  2. La unión de elementos de cualquier subcolección de T es en T .

  3. La intersección de los elementos de cualquier subcolección finita de T es en T .

Entonces un espacio topológico es el par ordenado ( X , T ) que consiste en un conjunto X y una topología T en X .

Cuando presento esta idea a los estudiantes, es lo suficientemente simple como para motivar por qué se seleccionó esta definición usando conceptos elementales de cálculo y el hecho de que originalmente se suponía que la topología generalizaba estas ideas. Hace que esta definición sea más accesible para ellos. Por supuesto, también se puede poner la definición en términos de conjuntos cerrados.

Sin embargo, me han preguntado por qué esta definición. Es decir, no por qué esta definición en comparación con la definición de conjunto cerrado, sino por qué esta definición funciona mejor que otras definiciones posibles. Luego, el estudiante pregunta qué otras definiciones se intentaron y por qué fallaron para que se estableciera la definición anterior.

Yo mismo he pensado en esto, pero nunca he encontrado una referencia que hable de cómo esta definición era la que querría un matemático en comparación con otras definiciones posibles. Me encantaría poder tener una buena respuesta para los estudiantes para esto y poder incluir esto en por qué la definición anterior es 'buena'. ¿Alguien sabe de una explicación histórica en algún texto o documento que discuta, aunque sea brevemente, otras definiciones que se probaron originalmente? No he tenido éxito en encontrar tales fuentes. Incluso pensamientos sobre posibles definiciones alternativas de una topología que resultan ser 'inferiores' a la estándar con una breve explicación de por qué sería aceptable en lugar de una fuente.

Tengo una copia del libro de Sierpinski sobre topología de conjuntos de puntos en alguna parte, y él define una topología en términos de vecindades en lugar de conjuntos abiertos/cerrados. Este fue el primer libro sobre el tema que leí. Era horrible y opaco para mí como principiante. En comparación, los conjuntos abiertos/cerrados son una definición bastante natural. Sospecho que esto es parte de por qué esa presentación perdió...
¿Alguien sabe si la idea de la topología general se desarrolló después de la topología del espacio métrico? ¿Algún historiador de las matemáticas por ahí?
Esa es una buena pregunta. Cuando leo la historia, a menudo no llevo un registro de las fechas. Pero sorprendentemente, parecen haber aparecido casi al mismo tiempo. Al menos este parece ser el caso de mis lecturas.

Respuestas (2)

Varias personas estuvieron involucradas en el desarrollo temprano de la topología general de conjuntos de puntos, pero una gran parte se debe a Felix Hausdorff , y se puede encontrar en su Grundzüge der Mengenlehre de 1914. (Tenga en cuenta que la edición en inglés está traducida de una versión posterior). edición que fue muy reescrita.)

Hausdorff señaló que existen tres conceptos básicos mediante los cuales se puede fundamentar una teoría general de los espacios topológicos: la noción de distancia, vecindad y límite. Partiendo de una noción de distancia, se pueden derivar las otras dos (como había hecho Fréchet en 1906), y partiendo de una noción de vecindad, se pueden definir límites. Hausdorff optó por definir los espacios topológicos en términos de axiomas de vecindad, junto con lo que ahora llamamos el axioma de separación de Hausdorff.

En los años posteriores al libro de Hausdorff, se exploraron diferentes variaciones en la definición de un espacio topológico. Kuratowski dio una definición en términos de axiomas de cierre. Tietze dio una definición en términos de conjuntos abiertos. En la década de 1930 se publicaron varios libros de texto con opciones ligeramente diferentes de axiomas de separación, etc. Finalmente, en 1940, Bourbaki (o André Weil y Claude Chevalley) eligió nuestra definición moderna, que también se usó en el influyente libro de John Kelley (1955). ).

Todo lo que escribo es mi opinión, pero nada en algunas fuentes que describiste.

Recordamos las propiedades de conjunto abierto del conjunto de números reales R :

  1. Φ , R son conjuntos abiertos.

  2. La intersección de los elementos de cualquier conjunto abierto finito es un conjunto abierto.

  3. La unión de elementos de cualquier conjunto abierto es conjunto abierto.

La definición de espacio de topología se desarrolla a partir de estas propiedades. Todas las definiciones fundamentales (vecindario, convergencia, continuar, cubrir...) en R puede ser descrito por conjunto abierto pero no necesita la definición de "distancia". Para hablar de las definiciones y propiedades de cualquier espacio. X , hacemos una definición abstracta del conjunto abierto de R y obtenga la definición de espacio de topología. De hecho, esto es un desarrollo de las matemáticas. Las definiciones de topología no son producto de la imaginación. Y no escuché algunas otras definiciones.

Supongo que debería haber dicho la historia de la topología de conjuntos de puntos, ya que muchos parecen considerar que la topología comienza con Euler y su famoso problema del puente. Si bien esta respuesta no aborda si se probaron otras definiciones. Me gusta la simplicidad de responder la mayor parte de la pregunta y lo accesible que es para los estudiantes. Es bastante fácil para ellos ver de inmediato por qué se eligió la definición y lo suficientemente reconfortante como para descansar sus mentes sobre el tema. Además, incluye una idea general que siempre trato de enfatizar a los estudiantes, que las 'nuevas' Matemáticas son un pequeño paso de lo que ya sabíamos. +1!
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