Matrices con una indexación más general que por enteros

Brevemente, tiene razón sobre la utilidad de los conjuntos de índices arbitrarios; podría decirse que, de hecho, las exposiciones estándar de álgebra lineal hacen exactamente lo que usted sugiere.[1] Pero para mí, el mayor escollo no es indexar por números enteros versus indexar por conjuntos finitos: el problema es que los conjuntos de índices en álgebra lineal están ordenados aunque pocos libros lo noten explícitamente.

Cuando hablamos de bases en álgebra lineal, siempre[2] nos referimos a bases ordenadas . En otra notación, el conjunto índice de un vector o de una base de un espacio vectorial de dimensión finita no es el conjunto desordenado$\{1, \dots, n\}$(digamos), pero el conjunto ordenado$(1, \dots, n)$. Cuando representamos una transformación lineal como una matriz, el orden de las bases es crucial.

Cualquier conversación sobre "aplanar" una matriz a una columna fija implícitamente una biyección de$\{1, \dots, m\} \times \{1, \dots, n\}$a$(1, \dots, mn)$, es decir, una ordenación del conjunto de doble índice.

Nota 1. Un poco tangencialmente, hay una perspectiva en el álgebra lineal real donde los vectores son funciones de valor real en un conjunto de índices. Esto se extiende, por ejemplo, a los operadores integrales, donde

Nota 2. Hay instancias en las que el orden es irrelevante, como cuando se habla de intervalos, pero en muchas más instancias, como el acto de escribir vectores y matrices como matrices, orientación y determinantes, donde el orden es importante pero no se dice o no se dice a medias. dicho.

Decidí escribir un comentario extenso en forma de wiki de la comunidad a la excelente respuesta de Andrew D. Hwang. Solo considero el caso de dimensión finita, aunque hay análogos para la dimensión infinita.

El "problema de indexación" surge ya en el nivel de representación de vectores de un espacio vectorial de dimensión finita$V$a través de sus coordenadas con respecto a una base$\mathfrak V$de$V$. una base de$V$generalmente se define como un subconjunto$\mathfrak V \subset V$que es linealmente independiente y genera$V$. En la mayoría de las definiciones$\mathfrak V$se escribe en forma$\{v_1,\ldots,v_n\}$. Esto dice implícitamente que en realidad consideramos bases ordenadas que son secuencias ordenadas finitas$(v_1,\ldots,v_n)$en lugar de conjuntos finitos (desordenados) . En otras palabras, elegimos un bijecton$I_n = \{1,\ldots,n\} \to \mathfrak V$para que los enteros$i = 1,\ldots,n$se utilizan para indexar los elementos de$\mathfrak V$. Esto parece bastante natural porque escribir explícitamente los elementos de$\mathfrak V$se suele hacer en forma de lista, es decir, en forma de disposición secuencial lineal (ya sea de izquierda a derecha o de arriba hacia abajo).

En mi opinión, trabajar con bases ordenadas es conceptualmente innecesario para la mayoría de los propósitos del álgebra lineal. Una excepción es el concepto de orientación . De hecho, cada elemento$\mathbf x \in V$Se puede escribir como$\mathbf x = \sum_{v \in \mathfrak V} x_v v$con único$x_v \in K$. En otras palabras, cuando se trabaja con una base$\mathfrak V$podemos evitar la identificación$V \approx K^n$y usamos el isomorfismo canónico$V \approx K^{\mathfrak V}$. Es decir, la representación coordinada de$\mathbf x$con respecto a$\mathfrak V$se escribe de forma abstracta como$(x_v)_{v \in \mathfrak V}$y no como$(x_i)_{i \in I_n}$.

El problema aquí es que si queremos escribir explícitamente$(x_v)_{v \in \mathfrak V}$para valores numéricos concretos de la$x_v$, entonces tenemos que acordar un patrón de arreglo definido para el$x_v$en una hoja de papel que permite identificar el índice$v$desde la posición del elemento$x_v \in K$en el patrón de arreglo. La forma habitual es, por supuesto, hacerlo en forma de un arreglo secuencial lineal , ya sea de izquierda a derecha, dando vectores de fila, o de arriba hacia abajo, dando vectores de columna. Esto no es más que la elección de una biyección$I_n \to \mathfrak V$. Sin embargo, también podríamos acordar organizar el$x_v$en$n$posiciones de un círculo (que requiere especificar una función de$\mathfrak V$al círculo). En algunos casos incluso tenemos un patrón de disposición no lineal por definición de$V$. Este es el caso de$V =M(m,n;K)$. Este espacio vectorial tiene una base canónica en forma de$E_{ij}$(ver la pregunta). La representación de coordenadas de una matriz.$A$con respecto a esta base se escribe naturalmente en un patrón matricial que nos da nuevamente$A$. Por supuesto que podemos aplanarlo, pero esto sería antinatural y arbitrario.