¿Cómo se calculó por primera vez eee?

Aquí hay cuatro ejemplos diferentes para examinar.

• Libro : "e: La historia de un número", Eli Maor
• Sitio web : El número e
• Papel : e El Exponencial - el Número Mágico del Crecimiento
• Diario : JL Coolidge, El número e, Amer. Matemáticas. Mensual 57 (1950), 591-602

Estoy citando aquí una publicación antigua de USENET de Matthew P. Wiener, quien señala que las explicaciones que involucran$\sum\frac1{n!}$y$\left(1+\frac 1n\right)^n$no fueron en realidad las primeras apariciones o cálculos de$e$:

Napier, quien inventó los logaritmos, más o menos elaboró ​​una tabla de logaritmos a base$\frac1e$, como sigue:

0 1 2 3  4  5  6   7   8   9   10 ...
1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 ...

La progresión aritmética de la primera fila se corresponde con una progresión geométrica de la segunda fila. Si, por suerte, desea multiplicar 16 por 32, que se encuentra en la fila inferior, puede buscar sus "registros" en la primera fila y sumar 4+5 para obtener 9 y luego concluir 16. ·32=512.

Para la mayoría de los propósitos prácticos, esto es inútil. Napier se dio cuenta de que lo que uno necesita para multiplicar en general es$1+\epsilon$para una base, los valores intermedios serán mucho más extensos. Por ejemplo, con base 1.01, obtenemos:

  0 1.00   1 1.01   2 1.02   3 1.03   4 1.04   5 1.05
  6 1.06   7 1.07   8 1.08   9 1.09  10 1.10  11 1.12
 12 1.13  13 1.14  14 1.15  15 1.16  16 1.17  17 1.18
 18 1.20  19 1.21  20 1.22  21 1.23  22 1.24  23 1.26
 24 1.27  25 1.28  26 1.30  27 1.31  28 1.32  29 1.33
 30 1.35  31 1.36  32 1.37  33 1.39  34 1.40  35 1.42
[...]
 50 1.64  51 1.66  52 1.68  53 1.69  54 1.71  55 1.73
[...]
 94 2.55  95 2.57  96 2.60  97 2.63  98 2.65  99 2.68
100 2.70 101 2.73 102 2.76 103 2.79 104 2.81 105 2.84
[...]

Entonces, si necesita multiplicar 1,27 por 1,33, por ejemplo, busque sus logaritmos, en este caso, 24 y 29, súmelos y obtenga 53, por lo que 1,27 · 1,33 = 1,69. Para la aritmética de dos/tres dígitos, la tabla solo necesita entradas hasta 9,99.

Tenga en cuenta que$e$está casi ahí, como el antilogaritmo de 100. El logaritmo natural de un número se puede leer en la tabla anterior, como$\frac1{100}$el exponente correspondiente.

Lo que Napier realmente hizo fue trabajar con la base .9999999. Pasó 20 años calculando poderes de .9999999 a mano, produciendo una gran versión de lo anterior. Eso es todo. Sin una comprensión profunda de nada, sin cálculo, y$e$aparece de todos modos; en el caso de Napier,$\frac1e$fue la entrada número 10 millones. (Para ser pedante, Napier en realidad no usó puntos decimales, ya que era una noción nueva en ese momento).

Posteriormente, en su histórico encuentro con Briggs, se hicieron dos cambios. Un cambio a una base$> 1$se hizo, de modo que los logaritmos se escalaran en la misma dirección que los números, y se eligió el espaciado en los lados de los logaritmos para que$\log(10)=1$. Estos dos cambios fueron, en efecto, una mera división por$-\log_e(10)$.

En otras palabras,$e$hizo su primera aparición bastante implícitamente.

La conexión con el cálculo vino después. Fermat había resuelto con éxito el problema de la cuadratura para$y=x^n$para$n\ne -1$, pero no para$y=\frac1x$. El método de Fermat consistía en utilizar intervalos espaciados geométricamente en el$x$eje, y para sumar las áreas resultantes. Le tomó un poco de tiempo a un contemporáneo darse cuenta de que este método producía áreas aritméticamente espaciadas debajo de la hipérbola, es decir, que estaba ocurriendo un logaritmo.

Mi explicación favorita implica agregar interés a una inversión.

Digamos que invierte algo de dinero y el banco le da intereses anualmente. Al final del primer año tendrías$I(1+r)$, dónde$I$es la inversión y$r$es la tasa de interés en forma decimal, es decir, 5% = 0,05.

Ahora supongamos que está impaciente y quiere interés más a menudo. El banco podría ofrecer aplicar la mitad de la tasa de interés dos veces al año. Entonces, en lugar del 5% una vez, obtienes el 2,5% dos veces:$I(1+\tfrac{r}{2})^2$.

Ahora digamos que todavía no está contento y quiere interés más a menudo. El banco podría ofrecer aplicar la cuarta parte de la tasa de interés cuatro veces en un año. Entonces, en lugar de 5% una vez, obtienes 1.25% cuatro veces:$I(1+\tfrac{r}{4})^4$.

Si el banco aplica el interés$n$veces en un año entonces tendrías$I(1+\tfrac{r}{n})^n$despues de un año.

que pasa como$n$se hace mas y mas grande? Digamos que el banco comienza a pagar intereses no mensualmente, ni semanalmente, ni diariamente, ni siquiera por hora. ¿Qué pasa si el banco paga un interés compuesto continuo ? Bien:

$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{r}{n}\right)^n = \operatorname{e}^r$$

Esta es la razón por la cual la exponencial aparece en la dinámica de población y la descomposición nuclear. Alguien está naciendo casi a cada instante, lo que da un pequeño aumento continuo a la población, al igual que el banco agrega pequeñas cantidades de interés continuamente.

Si quieres hacer ejercicio$\operatorname{e}$entonces solo ten en cuenta que

$$\lim_{n \to \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n = \operatorname{e}$$

Para una muy buena aproximación, simplemente elija una muy grande$n$. Por ejemplo:

$$\left(1+\frac{1}{10,000}\right)^{10,000} \approx 2.71815$$

Por supuesto, una mejor manera de encontrar una aproximación sería usar su serie de potencias:

$$\operatorname{e}^x \sim 1 + x + \tfrac{x^2}{2!} + \tfrac{x^3}{3!} + \cdots$$ Esto es mucho más fácil de calcular y se acerca mucho muy rápidamente: $$1 + 1 + \tfrac{1}{2!} + \cdots +\tfrac{1}{10!} \approx 2.71828$$