He estudiado que Gauss fue uno de los primeros matemáticos en defender esta idea, sobre la Matemática Abstracta y la concepción del número, afirmando que “Lo calculado (en el sentido de cosas ya contadas) no son sustancias (objetos pensables por sí mismos) , pero las relaciones entre dos objetos se cuentan de dos en dos".
Este pensamiento puede haber sido influenciado (aunque indirectamente) por un filósofo compatriota de Gauss, Immanuel Kant, una vez en un artículo de una época no muy lejana de Gauss, Kant argumentó que la idea detrás de los números negativos debería ir más allá de la idea lógica tradicional.
En "Intento de introducir la concepción de las Cantidades Negativas en la Filosofía", Kant pone en equilibrio las ideas lógico-contradictorias y reales-oposicionales que tienen los números negativos. Como, por ejemplo, la idea lógica de los números negativos atestigua que si un cuerpo está en movimiento, la negación de este movimiento sería el reposo. Sin embargo, no habría condiciones para que este cuerpo estuviera en reposo y en movimiento simultáneamente. Por otro lado, la idea real-oposicional sostiene que la negación de un movimiento de un cuerpo sería el mismo movimiento en dirección opuesta y, finalmente, los eventos simultáneos de estos dos eventos traerían el reposo.
Es decir, el enfoque en la comprensión del número no se trata de las cosas que estás observando, sino de las relaciones entre ellas.
¿Qué matemáticos y filósofos entre los siglos XVIII y XIX fueron defensores o precursores de este tipo de matemáticas abstractas y del número como relación?
Gauss en Disquisitiones Arithmeticae (1799) ciertamente expresa algo cercano a lo que ahora se llama formalismo matemático y estructuralismo. El escribe:
" Lo que se calcula (en el sentido de cosas ya contadas) no son sustancias (objetos pensables por sí mismos), sino relaciones entre dos objetos contados de dos en dos... El matemático abstrae totalmente de la naturaleza de los objetos y del contenido de sus relaciones; se ocupa únicamente del cómputo y la comparación de las relaciones entre sí ”.
Pero es difícil atribuir opiniones similares a Kant, de hecho, su punto de vista era todo lo contrario. Que los conceptos sin intuiciones están vacíos, y que las intuiciones (puras) para los conceptos matemáticos son proporcionadas por la construcción imaginativa de acuerdo con esquemas a priori de espacio y tiempo. En otras palabras, las relaciones se construyen sólo junto con sus objetos intuitivos. Esto llevó a Kant a reclamar la certeza a priori de la geometría euclidiana, algo por lo que Gauss lo criticó explícitamente : " Precisamente la imposibilidad de decidir a priori entre [espacio euclidiano y no euclidiano] da la prueba más clara de que Kant no estaba justificado al afirmar que el espacio es sólo la forma de nuestra percepción.De hecho, la relacionalización y formalización de las matemáticas en el siglo XIX fue de la mano con el rechazo (especialmente por parte de Frege y Hilbert) de la concepción intuitiva de Kant (que fue retenida más por Poincaré y los intuicionistas).
Sin embargo, Gauss tenía muchas fuentes anteriores para construir. La abstracción de las matemáticas se remonta a Isagoge (1591) de Vieta. Bos escribe en Redefiniendo la Exactitud Geométrica, Capítulo 8 :
" Fue Viète quien introdujo y promovió por primera vez la idea de que el álgebra era un método adecuado para el análisis de problemas tanto en geometría como en teoría de números... Viète generalmente reservaba el término logística engañosa para la parte de su nueva álgebra que trataba con magnitud abstracta y en la que, por lo tanto, no se pueden hacer suposiciones sobre la realización real de operaciones algebraicas... Viète no vio el álgebra como una técnica relacionada con números... sino como un método de cálculo simbólico relacionado con magnitudes abstractas " .
Para más información, véase El papel del lenguaje simbólico en la transformación de las matemáticas de Esteve . El siguiente pensador en promover la visión relacional/abstracta de las matemáticas, y el contraste elegido por Kant, fue Leibniz. Él es quien llamó a los números imaginarios e infinitesimales "ficciones útiles" y promovió la llamada "generalidad del álgebra" (el término fue acuñado por Cauchy), tratando las identidades algebraicas como reglas puramente formales que se aplican independientemente de la naturaleza de las cantidades. involucrado. Peckhaus describe en Calculus Ratiocinator vs. Characteristica Universalis :
" 'Abreviar' significa que tan pronto como se ha establecido un signo característico para un objeto complejo, la memoria puede liberarse de la carga de retener todos los elementos característicos de este objeto. Los lenguajes naturales no son suficientes para esta tarea de designar objetos sin ambigüedad. Sólo en el lenguaje de la aritmética y el álgebra esta idea se ha realizado parcialmente. Todo el razonamiento en estas ramas consiste en el uso de caracteres. Los errores en el razonamiento resultan ser errores de cálculo... Utiliza letras elegidas arbitrariamente de acuerdo con el modelo de las matemáticas. Esta notación permite 'calcular con conceptos' de acuerdo con conjuntos de reglas, cada una de las cuales forma un cálculo raciocinador " .
Frege nombra específicamente el cálculo raciocinador de Leibniz como inspiración para su guión conceptual (cálculo de predicados). La generalidad del álgebra fue luego ampliamente utilizada por Euler, Lagrange y el propio Gauss, en el "análisis algebraico" que precedió al de Weierstrassian, ver The Foundational Aspects of Gauss's Work de Ferraro :
Finalmente, las funciones del siglo XVIII se caracterizaron de manera esencial por el uso de una metodología formal que permitía operar sobre expresiones analíticas, independientemente de su significado. Esta metodología formal se basaba en dos principios analógicos íntimamente relacionados, la generalidad del álgebra y la extensión de reglas y procedimientos de lo finito al infinito. La generalidad del álgebra consistía en la siguiente suposición: (GA) si una fórmula analítica se derivaba usando las reglas del álgebra, entonces se pensaba que era válida en general". "
Más tarde, Peacock renombró esto como Principio de permanencia de la forma en su Álgebra simbólica (1831): " Cualquier forma que sea algebraicamente equivalente a otra, cuando se expresa en símbolos generales, debe ser verdadera, independientemente de lo que denoten esos símbolos". La abstracción del álgebra se promovió aún más. , antes de Hilbert, por Hankel y Dedekind.
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