Círculos iguales empaquetados en △ABC△ABC\triángulo ABC con AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ

Question

Círculos iguales empaquetados en △ABC△ABC\triángulo ABC con AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ

círculos
geometría
triangulos
Matemáticas
geometria plana
Geometría euclidiana

Cyh1368

Como se muestra en la figura, dos círculos con el mismo radio están inscritos y son tangentes a $\triangle ABC$ , dónde $\angle CAB=90^\circ$ .
Dado que $AC=9, AB=12$ , encuentre los radios de los dos círculos.

He intentado conectar los centros de los dos círculos y hacer una línea perpendicular donde hay una tangente. Pero todavía no puedo encontrar una manera de encontrar el radio.

Creo que hay un triángulo clave que se puede usar para encontrar el radio, pero aún no lo he encontrado. ¡Por favor ayuda!

ACB

¿ Puedes tomarlo desde aquí ?

Respuestas (3)

Círculos iguales empaquetados en △ABC△ABC\triángulo ABC con AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ

coudy · Answer 1

Tenga en cuenta que el triángulo cuya hipotenusa es el segmento entre los centros de los dos círculos es similar al gran triángulo de lados 9-12-15. Esto permite calcular sus lados en función de $R$ . luego por el lado $AC$ , obtenemos la ecuación

9 - \frac{11}{5} R + 2 R + 12 - \frac{13}{5} R = 15

$9 - {11\over 5} R + 2R + 12- {13\over 5} R= 15$ lo que lleva a

R = \frac{15}{7}

$R = {15\over 7}$ .

Solo curiosidad, ¿qué software o cómo dibujaste el diagrama? Me resultó difícil hacerlo.
Usé Geogebra. Hice la imagen después de calcular la relación 2/2/3 en $AC$ , lo que facilitó la construcción.

señorito · Answer 2

Sugerencias: puede encontrar fácilmente el resultado de los medios ángulos de ACB y ABC como $26.57^\circ$ y $18.43^\circ$ , sea R el radio de los círculos que tienes:

\frac{R}{broncearse 26.57} + \frac{R}{broncearse 18, 45} + 2 R = 15

$\frac R{\tan 26.57}+\frac R {\tan 18,45}+ 2R=15$

lo que da:

(2 + 3 + 2 = 7) R = 15 \Rightarrow R = \frac{15}{7} \approx 21.4

$(2+3+2=7) R=15\Rightarrow R=\frac {15}7\approx 21.4$

s.dolan · Answer 3

PISTA

El triángulo es un múltiplo de un $3,4,5$ triángulo que resultará útil. Construya el triángulo similar que tiene la línea entre los centros de los círculos como hipotenusa. Ahora debería estar claro cómo obtener todas las medidas necesarias en términos del radio de los círculos y las distancias de B y C desde los puntos donde los círculos tocan el triángulo.

Círculos iguales empaquetados en △ABC△ABC\triángulo ABC con AC=9AC=9AC=9, AB=12AB=12AB=12, ∠CAB=90∘∠CAB=90∘\angle CAB=90^\circ

Cyh1368

ACB

Respuestas (3)

coudy

Cyh1368

coudy

señorito

s.dolan

¿Los círculos R,G,BR,G,BR,G,B que se intersecan por pares tienen cuerdas comunes concurrentes?

¿Cuál es el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC?

Otros seis puntos se encuentran en un círculo

Demostrando que el circuncentro está en la altura

Una pregunta sobre un triángulo rectángulo contenido en un triángulo equilátero

¿Las tangentes de dos circunferencias definen circunferencias concéntricas?

Dado que el lugar geométrico es un círculo, demuestre que dos líneas son perpendiculares

Ángulo doble en triángulo circunscrito

¿Cuál es el área del semicírculo verde?

Supongamos que ∠BAC=60∘∠BAC=60∘\ángulo BAC = 60^\circ y ∠ABC=20∘∠ABC=20∘\ángulo ABC = 20^\circ. Un punto EEE dentro de ABCABCABC satisface ∠EAB=20∘∠EAB=20∘\angle EAB=20^\circ y ∠ECB=30∘∠ECB=30∘\angle ECB=30^\circ.